Theorem feq1 5452

Description: Equality theorem for functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
feq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem feq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneq1 5405	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 Fn 𝐴))
2		rneq 4947	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ran 𝐹 = ran 𝐺)
3	2	sseq1d 3253	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran 𝐺 ⊆ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺 ⊆ 𝐵)))
5		df-f 5318	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
6		df-f 5318	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺 ⊆ 𝐵))
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197  ran crn 4717   Fn wfn 5309  ⟶wf 5310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318

This theorem is referenced by:  feq1d  5456  feq1i  5462  f00  5513  f0bi  5514  f0dom0  5515  fconstg  5518  f1eq1  5522  fconst2g  5847  tfrcllemsucfn  6489  tfrcllemsucaccv  6490  tfrcllembxssdm  6492  tfrcllembfn  6493  tfrcllemex  6496  tfrcllemaccex  6497  tfrcllemres  6498  tfrcl  6500  elmapg  6798  ac6sfi  7048  updjud  7237  finomni  7295  exmidomni  7297  mkvprop  7313  1fv  10323  seqf1oglem2  10729  seqf1og  10730  iswrd  11060  isgrpinv  13573  isghm  13766  upxp  14931  txcn  14934  plyf  15396  dceqnconst  16359  dcapnconst  16360