Theorem fnresi 5403

Description: Functionality and domain of restricted identity. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnresi	⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Proof of Theorem fnresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 5312	. . 3 ⊢ Fun I
2		funres 5321	. . 3 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
4		dmresi 5023	. 2 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
5		df-fn 5283	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun ( I ↾ 𝐴) ∧ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴))
6	3, 4, 5	mpbir2an 945	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1373   I cid 4343  dom cdm 4683   ↾ cres 4685  Fun wfun 5274   Fn wfn 5275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-res 4695  df-fun 5282  df-fn 5283

This theorem is referenced by:  f1oi  5573  iordsmo  6396  omp1eomlem  7211  ctm  7226  xnn0nnen  10604