Theorem fnresi 5457

Description: Functionality and domain of restricted identity. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnresi	⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Proof of Theorem fnresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 5365	. . 3 ⊢ Fun I
2		funres 5374	. . 3 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
4		dmresi 5074	. 2 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
5		df-fn 5336	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun ( I ↾ 𝐴) ∧ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴))
6	3, 4, 5	mpbir2an 951	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1398   I cid 4391  dom cdm 4731   ↾ cres 4733  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-fun 5335  df-fn 5336

This theorem is referenced by:  f1oi  5632  iordsmo  6506  omp1eomlem  7336  ctm  7351  xnn0nnen  10745