Theorem fnresi 5375

Description: Functionality and domain of restricted identity. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnresi	⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Proof of Theorem fnresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 5290	. . 3 ⊢ Fun I
2		funres 5299	. . 3 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
4		dmresi 5001	. 2 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
5		df-fn 5261	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun ( I ↾ 𝐴) ∧ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴))
6	3, 4, 5	mpbir2an 944	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1364   I cid 4323  dom cdm 4663   ↾ cres 4665  Fun wfun 5252   Fn wfn 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-fun 5260  df-fn 5261

This theorem is referenced by:  f1oi  5542  iordsmo  6355  omp1eomlem  7160  ctm  7175  xnn0nnen  10529