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Theorem ctm 7107
Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctm (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–onto→𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓,π‘₯
Proof of Theorem ctm
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5499 . . . . . . . . . . 11 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2 f1of 5461 . . . . . . . . . . 11 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴)
31, 2mp1i 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴⟢𝐴)
4 fconst6g 5414 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (1o Γ— {π‘₯}):1o⟢𝐴)
54adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ (1o Γ— {π‘₯}):1o⟢𝐴)
63, 5casef 7086 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})):(𝐴 βŠ” 1o)⟢𝐴)
7 ffun 5368 . . . . . . . . 9 (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})):(𝐴 βŠ” 1o)⟢𝐴 β†’ Fun case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ Fun case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})))
9 vex 2740 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
109a1i 9 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ 𝑓 ∈ V)
11 cofunexg 6109 . . . . . . . 8 ((Fun case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∧ 𝑓 ∈ V) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓) ∈ V)
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓) ∈ V)
13 fof 5438 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ 𝑓:Ο‰βŸΆ(𝐴 βŠ” 1o))
1413adantl 277 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ 𝑓:Ο‰βŸΆ(𝐴 βŠ” 1o))
15 fco 5381 . . . . . . . . 9 ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})):(𝐴 βŠ” 1o)⟢𝐴 ∧ 𝑓:Ο‰βŸΆ(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):Ο‰βŸΆπ΄)
166, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):Ο‰βŸΆπ΄)
17 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o))
18 djulcl 7049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (inlβ€˜π‘¦) ∈ (𝐴 βŠ” 1o))
1918adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (inlβ€˜π‘¦) ∈ (𝐴 βŠ” 1o))
20 foelrn 5753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ∧ (inlβ€˜π‘¦) ∈ (𝐴 βŠ” 1o)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§))
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§))
22 fofn 5440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ 𝑓 Fn Ο‰)
2322ad4antlr 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑓 Fn Ο‰)
24 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑧 ∈ Ο‰)
25 fvco2 5585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§) = (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯}))β€˜(π‘“β€˜π‘§)))
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§) = (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯}))β€˜(π‘“β€˜π‘§)))
27 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§))
2827fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯}))β€˜(inlβ€˜π‘¦)) = (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯}))β€˜(π‘“β€˜π‘§)))
29 fnresi 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( I β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ ( I β†Ύ 𝐴) Fn 𝐴)
31 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
3231fconst6 5415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1o Γ— {π‘₯}):1o⟢V
33 ffun 5368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1o Γ— {π‘₯}):1o⟢V β†’ Fun (1o Γ— {π‘₯}))
3432, 33mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ Fun (1o Γ— {π‘₯}))
35 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3630, 34, 35caseinl 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯}))β€˜(inlβ€˜π‘¦)) = (( I β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦))
3726, 28, 363eqtr2d 2216 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§) = (( I β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦))
38 fvresi 5709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (( I β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = 𝑦)
3935, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = 𝑦)
4037, 39eqtr2d 2211 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) ∧ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§))
4140ex 115 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§)))
4241reximdva 2579 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ (inlβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§)))
4321, 42mpd 13 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§))
4443ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§))
45 dffo3 5663 . . . . . . . 8 ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):ω–onto→𝐴 ↔ ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):Ο‰βŸΆπ΄ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ 𝑦 = ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓)β€˜π‘§)))
4616, 44, 45sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):ω–onto→𝐴)
47 foeq1 5434 . . . . . . . 8 (𝑔 = (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓) β†’ (𝑔:ω–onto→𝐴 ↔ (case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):ω–onto→𝐴))
4847spcegv 2825 . . . . . . 7 ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓) ∈ V β†’ ((case(( I β†Ύ 𝐴), (1o Γ— {π‘₯})) ∘ 𝑓):ω–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴))
4912, 46, 48sylc 62 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴)
5049ex 115 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴))
5150exlimiv 1598 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴))
5251exlimdv 1819 . . 3 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴))
53 foeq1 5434 . . . 4 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑓:ω–onto→𝐴 ↔ 𝑔:ω–onto→𝐴))
5453cbvexv 1918 . . 3 (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–onto→𝐴 ↔ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–onto→𝐴)
5552, 54syl6ibr 162 . 2 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–onto→𝐴))
56 ctmlemr 7106 . 2 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o)))
5755, 56impbid 129 1 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–onto→𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2737  {csn 3592   I cid 4288  Ο‰com 4589   Γ— cxp 4624   β†Ύ cres 4628   ∘ ccom 4630  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€“ontoβ†’wfo 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  1oc1o 6409   βŠ” cdju 7035  inlcinl 7043  casecdjucase 7081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082
This theorem is referenced by:  ctssdc  7111  enumct  7113  omct  7115  unbendc  12454  pw1nct  14688
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