Theorem fores 5486

Description: Restriction of a function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
fores	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Proof of Theorem fores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5295	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
2	1	anim1i 340	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3		df-fn 5257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
4		df-ima 4672	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
5	4	eqcomi 2197	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
6		df-fo 5260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)))
7	5, 6	mpbiran2 943	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
8		ssdmres 4964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴)
9	8	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
10	3, 7, 9	3bitr4i 212	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
11	2, 10	sylibr 134	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ⊆ wss 3153  dom cdm 4659  ran crn 4660   ↾ cres 4661   “ cima 4662  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  –onto→wfo 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fo 5260

This theorem is referenced by:  resdif  5522  ctinf  12587  qnnen  12588