Theorem fores 5448

Description: Restriction of a function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
fores	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Proof of Theorem fores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5258	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
2	1	anim1i 340	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3		df-fn 5220	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
4		df-ima 4640	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
5	4	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
6		df-fo 5223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)))
7	5, 6	mpbiran2 941	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
8		ssdmres 4930	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴)
9	8	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
10	3, 7, 9	3bitr4i 212	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
11	2, 10	sylibr 134	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ⊆ wss 3130  dom cdm 4627  ran crn 4628   ↾ cres 4629   “ cima 4630  Fun wfun 5211   Fn wfn 5212  –onto→wfo 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fo 5223

This theorem is referenced by:  resdif  5484  ctinf  12431  qnnen  12432