Theorem qnnen 12582

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10308	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → DECID 𝑝 = 𝑞)
2	1	rgen2a 2548	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞
3		znnen 12549	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ℕ
4		nnex 8982	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	enref 6814	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ℕ
6		xpen 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 12545	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 6835	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
10		nnenom 10499	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entri 6835	. . . . 5 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ω
12	11	ensymi 6831	. . . 4 ⊢ ω ≈ (ℤ × ℕ)
13		bren 6796	. . . 4 ⊢ (ω ≈ (ℤ × ℕ) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ))
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ)
15		f1ofo 5503	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ))
16		divfnzn 9680	. . . . . . . . 9 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
17		fnfun 5347	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ))
19		fndm 5349	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ))
20		eqimss2 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ) → (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))
22		fores 5482	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)))
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ))
24		resima 4971	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
25		df-q 9679	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
26	24, 25	eqtr4i 2217	. . . . . . . 8 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ
27		foeq3 5470	. . . . . . . 8 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ)
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
30		foco 5483	. . . . . 6 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ∧ 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ)) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
32		zex 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
33	32, 4	xpex 4772	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ V
34		resfunexg 5775	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ∈ V) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V)
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V
36		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
37	35, 36	coex 5207	. . . . . 6 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) ∈ V
38		foeq1 5468	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) → (𝑓:ω–onto→ℚ ↔ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ))
39	37, 38	spcev 2855	. . . . 5 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
41	40	exlimiv 1609	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ
43	10	ensymi 6831	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
44		qex 9691	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
45		nnssq 9688	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
46		ssdomg 6827	. . . 4 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 ⊢ ℕ ≼ ℚ
48		endomtr 6839	. . 3 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ω ≼ ℚ)
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≼ ℚ
50		ctinf 12581	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ℕ ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ ∧ ω ≼ ℚ))
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1181	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ωcom 4620   × cxp 4655  dom cdm 4657   ↾ cres 4659   “ cima 4660   ∘ ccom 4661  Fun wfun 5244   Fn wfn 5245  –onto→wfo 5248  –1-1-onto→wf1o 5249   ≈ cen 6787   ≼ cdom 6788   / cdiv 8685  ℕcn 8976  ℤcz 9311  ℚcq 9678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958  ax-1cn 7959  ax-1re 7960  ax-icn 7961  ax-addcl 7962  ax-addrcl 7963  ax-mulcl 7964  ax-mulrcl 7965  ax-addcom 7966  ax-mulcom 7967  ax-addass 7968  ax-mulass 7969  ax-distr 7970  ax-i2m1 7971  ax-0lt1 7972  ax-1rid 7973  ax-0id 7974  ax-rnegex 7975  ax-precex 7976  ax-cnre 7977  ax-pre-ltirr 7978  ax-pre-ltwlin 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-apti 7981  ax-pre-ltadd 7982  ax-pre-mulgt0 7983  ax-pre-mulext 7984  ax-arch 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-riota 5869  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-recs 6353  df-frec 6439  df-1o 6464  df-er 6582  df-pm 6700  df-en 6790  df-dom 6791  df-fin 6792  df-dju 7091  df-inl 7100  df-inr 7101  df-case 7137  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ltxr 8053  df-le 8054  df-sub 8186  df-neg 8187  df-reap 8588  df-ap 8595  df-div 8686  df-inn 8977  df-2 9035  df-n0 9235  df-z 9312  df-uz 9587  df-q 9679  df-rp 9714  df-fz 10069  df-fl 10333  df-mod 10388  df-seqfrec 10513  df-exp 10604  df-dvds 11925

This theorem is referenced by: (None)