Theorem qnnen 12658

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10336	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → DECID 𝑝 = 𝑞)
2	1	rgen2a 2551	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞
3		znnen 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ℕ
4		nnex 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	enref 6825	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ℕ
6		xpen 6907	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 12621	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 6846	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
10		nnenom 10528	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entri 6846	. . . . 5 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ω
12	11	ensymi 6842	. . . 4 ⊢ ω ≈ (ℤ × ℕ)
13		bren 6807	. . . 4 ⊢ (ω ≈ (ℤ × ℕ) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ))
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ)
15		f1ofo 5512	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ))
16		divfnzn 9697	. . . . . . . . 9 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
17		fnfun 5356	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ))
19		fndm 5358	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ))
20		eqimss2 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ) → (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))
22		fores 5491	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)))
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ))
24		resima 4980	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
25		df-q 9696	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
26	24, 25	eqtr4i 2220	. . . . . . . 8 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ
27		foeq3 5479	. . . . . . . 8 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ)
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
30		foco 5492	. . . . . 6 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ∧ 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ)) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
32		zex 9337	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
33	32, 4	xpex 4779	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ V
34		resfunexg 5784	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ∈ V) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V)
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V
36		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
37	35, 36	coex 5216	. . . . . 6 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) ∈ V
38		foeq1 5477	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) → (𝑓:ω–onto→ℚ ↔ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ))
39	37, 38	spcev 2859	. . . . 5 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
41	40	exlimiv 1612	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ
43	10	ensymi 6842	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
44		qex 9708	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
45		nnssq 9705	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
46		ssdomg 6838	. . . 4 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 ⊢ ℕ ≼ ℚ
48		endomtr 6850	. . 3 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ω ≼ ℚ)
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≼ ℚ
50		ctinf 12657	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ℕ ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ ∧ ω ≼ ℚ))
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1181	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ωcom 4627   × cxp 4662  dom cdm 4664   ↾ cres 4666   “ cima 4667   ∘ ccom 4668  Fun wfun 5253   Fn wfn 5254  –onto→wfo 5257  –1-1-onto→wf1o 5258   ≈ cen 6798   ≼ cdom 6799   / cdiv 8701  ℕcn 8992  ℤcz 9328  ℚcq 9695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-pm 6711  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-dju 7105  df-inl 7114  df-inr 7115  df-case 7151  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-dvds 11955

This theorem is referenced by: (None)