Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnnen GIF version

Theorem qnnen 11957
 Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
qnnen ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qdceq 10038 . . 3 ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → DECID 𝑝 = 𝑞)
21rgen2a 2486 . 2 𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞
3 znnen 11924 . . . . . . . 8 ℤ ≈ ℕ
4 nnex 8740 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
54enref 6659 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ℕ
6 xpen 6739 . . . . . . . 8 ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
73, 5, 6mp2an 422 . . . . . . 7 (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 11920 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 6680 . . . . . 6 (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
10 nnenom 10221 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
119, 10entri 6680 . . . . 5 (ℤ × ℕ) ≈ ω
1211ensymi 6676 . . . 4 ω ≈ (ℤ × ℕ)
13 bren 6641 . . . 4 (ω ≈ (ℤ × ℕ) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ))
1412, 13mpbi 144 . . 3 𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ)
15 f1ofo 5374 . . . . 5 (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ))
16 divfnzn 9427 . . . . . . . . 9 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
17 fnfun 5220 . . . . . . . . 9 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ))
19 fndm 5222 . . . . . . . . 9 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ))
20 eqimss2 3152 . . . . . . . . 9 (dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ) → (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
2116, 19, 20mp2b 8 . . . . . . . 8 (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))
22 fores 5354 . . . . . . . 8 ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)))
2318, 21, 22mp2an 422 . . . . . . 7 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ))
24 resima 4852 . . . . . . . . 9 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
25 df-q 9426 . . . . . . . . 9 ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2624, 25eqtr4i 2163 . . . . . . . 8 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ
27 foeq3 5343 . . . . . . . 8 ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ)
2923, 28mpbi 144 . . . . . 6 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
30 foco 5355 . . . . . 6 (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ∧ 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ)) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
3129, 30mpan 420 . . . . 5 (𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
32 zex 9077 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
3332, 4xpex 4654 . . . . . . . 8 (ℤ × ℕ) ∈ V
34 resfunexg 5641 . . . . . . . 8 ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ∈ V) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V)
3518, 33, 34mp2an 422 . . . . . . 7 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V
36 vex 2689 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3735, 36coex 5084 . . . . . 6 ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) ∈ V
38 foeq1 5341 . . . . . 6 (𝑓 = ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) → (𝑓:ω–onto→ℚ ↔ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ))
3937, 38spcev 2780 . . . . 5 (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
4015, 31, 393syl 17 . . . 4 (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
4140exlimiv 1577 . . 3 (∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
4214, 41ax-mp 5 . 2 𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ
4310ensymi 6676 . . 3 ω ≈ ℕ
44 qex 9438 . . . 4 ℚ ∈ V
45 nnssq 9435 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
46 ssdomg 6672 . . . 4 (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
4744, 45, 46mp2 16 . . 3 ℕ ≼ ℚ
48 endomtr 6684 . . 3 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ω ≼ ℚ)
4943, 47, 48mp2an 422 . 2 ω ≼ ℚ
50 ctinf 11956 . 2 (ℚ ≈ ℕ ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ ∧ ω ≼ ℚ))
512, 42, 49, 50mpbir3an 1163 1 ℚ ≈ ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ωcom 4504   × cxp 4537  dom cdm 4539   ↾ cres 4541   “ cima 4542   ∘ ccom 4543  Fun wfun 5117   Fn wfn 5118  –onto→wfo 5121  –1-1-onto→wf1o 5122   ≈ cen 6632   ≼ cdom 6633   / cdiv 8446  ℕcn 8734  ℤcz 9068  ℚcq 9425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-fz 9805  df-fl 10057  df-mod 10110  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-dvds 11507 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator