Theorem qnnen 13113

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10548	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → DECID 𝑝 = 𝑞)
2	1	rgen2a 2587	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞
3		znnen 13080	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ℕ
4		nnex 9192	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	enref 6981	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ℕ
6		xpen 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 13076	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 7003	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
10		nnenom 10740	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entri 7003	. . . . 5 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ω
12	11	ensymi 6999	. . . 4 ⊢ ω ≈ (ℤ × ℕ)
13		bren 6960	. . . 4 ⊢ (ω ≈ (ℤ × ℕ) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ))
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ)
15		f1ofo 5599	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ))
16		divfnzn 9898	. . . . . . . . 9 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
17		fnfun 5434	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ))
19		fndm 5436	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ))
20		eqimss2 3283	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ) → (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))
22		fores 5578	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)))
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ))
24		resima 5052	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
25		df-q 9897	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
26	24, 25	eqtr4i 2255	. . . . . . . 8 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ
27		foeq3 5566	. . . . . . . 8 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ)
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
30		foco 5579	. . . . . 6 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ∧ 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ)) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
32		zex 9531	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
33	32, 4	xpex 4848	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ V
34		resfunexg 5883	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ∈ V) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V)
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V
36		vex 2806	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
37	35, 36	coex 5289	. . . . . 6 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) ∈ V
38		foeq1 5564	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) → (𝑓:ω–onto→ℚ ↔ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ))
39	37, 38	spcev 2902	. . . . 5 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
41	40	exlimiv 1647	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ
43	10	ensymi 6999	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
44		qex 9909	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
45		nnssq 9906	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
46		ssdomg 6995	. . . 4 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 ⊢ ℕ ≼ ℚ
48		endomtr 7007	. . 3 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ω ≼ ℚ)
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≼ ℚ
50		ctinf 13112	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ℕ ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ ∧ ω ≼ ℚ))
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1206	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ωcom 4694   × cxp 4729  dom cdm 4731   ↾ cres 4733   “ cima 4734   ∘ ccom 4735  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  –onto→wfo 5331  –1-1-onto→wf1o 5332   ≈ cen 6950   ≼ cdom 6951   / cdiv 8895  ℕcn 9186  ℤcz 9522  ℚcq 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-dju 7280  df-inl 7289  df-inr 7290  df-case 7326  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-dvds 12410

This theorem is referenced by: (None)