Theorem qnnen 13010

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10472	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → DECID 𝑝 = 𝑞)
2	1	rgen2a 2584	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞
3		znnen 12977	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ℕ
4		nnex 9124	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	enref 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ℕ
6		xpen 7014	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 12973	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 6946	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
10		nnenom 10664	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entri 6946	. . . . 5 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ω
12	11	ensymi 6942	. . . 4 ⊢ ω ≈ (ℤ × ℕ)
13		bren 6903	. . . 4 ⊢ (ω ≈ (ℤ × ℕ) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ))
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ)
15		f1ofo 5581	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ))
16		divfnzn 9824	. . . . . . . . 9 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
17		fnfun 5418	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ))
19		fndm 5420	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) → dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ))
20		eqimss2 3279	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (ℤ × ℕ) → (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ)))
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))
22		fores 5560	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ dom ( / ↾ (ℤ × ℕ))) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)))
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ))
24		resima 5038	. . . . . . . . 9 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
25		df-q 9823	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
26	24, 25	eqtr4i 2253	. . . . . . . 8 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ
27		foeq3 5548	. . . . . . . 8 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ℚ → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→(( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ)
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
30		foco 5561	. . . . . 6 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ∧ 𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ)) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ω–onto→(ℤ × ℕ) → ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ)
32		zex 9463	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
33	32, 4	xpex 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ V
34		resfunexg 5864	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ( / ↾ (ℤ × ℕ)) ∧ (ℤ × ℕ) ∈ V) → (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V)
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∈ V
36		vex 2802	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
37	35, 36	coex 5274	. . . . . 6 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) ∈ V
38		foeq1 5546	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔) → (𝑓:ω–onto→ℚ ↔ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ))
39	37, 38	spcev 2898	. . . . 5 ⊢ (((( / ↾ (ℤ × ℕ)) ↾ (ℤ × ℕ)) ∘ 𝑔):ω–onto→ℚ → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
41	40	exlimiv 1644	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→(ℤ × ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ)
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ
43	10	ensymi 6942	. . 3 ⊢ ω ≈ ℕ
44		qex 9835	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
45		nnssq 9832	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
46		ssdomg 6938	. . . 4 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 ⊢ ℕ ≼ ℚ
48		endomtr 6950	. . 3 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ω ≼ ℚ)
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 ⊢ ω ≼ ℚ
50		ctinf 13009	. 2 ⊢ (ℚ ≈ ℕ ↔ (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ DECID 𝑝 = 𝑞 ∧ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℚ ∧ ω ≼ ℚ))
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1203	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ωcom 4682   × cxp 4717  dom cdm 4719   ↾ cres 4721   “ cima 4722   ∘ ccom 4723  Fun wfun 5312   Fn wfn 5313  –onto→wfo 5316  –1-1-onto→wf1o 5317   ≈ cen 6893   ≼ cdom 6894   / cdiv 8827  ℕcn 9118  ℤcz 9454  ℚcq 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-dju 7213  df-inl 7222  df-inr 7223  df-case 7259  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-dvds 12307

This theorem is referenced by: (None)