Theorem funbrfv2b 5559

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5232	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 4861	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
3	2	ex 115	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
5	4	pm4.71rd 394	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
6		funbrfvb 5557	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
7	6	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
8	5, 7	bitr4d 191	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  dom cdm 4625  Rel wrel 4630  Fun wfun 5209  ‘cfv 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223

This theorem is referenced by:  brtpos2  6249  xpcomco  6823