Theorem funbrfv2b 5362

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5045	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 4683	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
3	2	ex 114	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
5	4	pm4.71rd 387	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
6		funbrfvb 5360	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
7	6	pm5.32da 441	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
8	5, 7	bitr4d 190	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  dom cdm 4452  Rel wrel 4457  Fun wfun 5022  ‘cfv 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-fv 5036

This theorem is referenced by:  brtpos2  6030  xpcomco  6596