ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvidlemap GIF version

Theorem dvidlemap 13793
Description: Lemma for dvid 13795 and dvconst 13794. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlemap.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlemap (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvidlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2 cnex 7913 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
32, 2fpm 6674 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
41, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5 dvfcnpm 13792 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
7 ssidd 3176 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
87, 1, 7dvbss 13787 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
9 reldvg 13781 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → Rel (ℂ D 𝐹))
107, 4, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel (ℂ D 𝐹))
1110adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Rel (ℂ D 𝐹))
12 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413cntoptop 13666 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
1513cntoptopon 13665 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
1615toponunii 13148 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1716ntrtop 13261 . . . . . . . . . 10 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
1912, 18eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ))
20 limcresi 13768 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥)
21 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℂ
22 ssidd 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
23 cncfmptc 13715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2421, 22, 22, 23mp3an2i 1342 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
2624, 12, 25cnmptlimc 13776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2720, 26sselid 3153 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥))
28 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥𝑧 # 𝑥))
2928elrab 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥))
30 dvidlemap.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
31303exp2 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
3231imp43 355 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
3329, 32sylan2b 287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
3433mpteq2dva 4090 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
35 ssrab2 3240 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ
36 resmpt 4950 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
3834, 37eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
3938oveq1d 5883 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥))
4027, 39eleqtrrd 2257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
4115toponrestid 13152 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
42 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
431adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4441, 13, 42, 22, 43, 22eldvap 13784 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
4519, 40, 44mpbir2and 944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
46 releldm 4857 . . . . . . 7 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
4711, 45, 46syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
488, 47eqelssd 3174 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4948feq2d 5348 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
506, 49mpbid 147 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
5150ffnd 5361 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52 fnconstg 5408 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
5321, 52mp1i 10 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
546adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
5554ffund 5364 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56 funbrfvb 5553 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5755, 47, 56syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5845, 57mpbird 167 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5921a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
60 fvconst2g 5725 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6159, 60sylan 283 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6258, 61eqtr4d 2213 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
6351, 53, 62eqfnfvd 5611 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459  wss 3129  {csn 3591   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4620  dom cdm 4622  cres 4624  ccom 4626  Rel wrel 4627  Fun wfun 5205   Fn wfn 5206  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  pm cpm 6642  cc 7787  cmin 8105   # cap 8515   / cdiv 8605  abscabs 10977  MetOpencmopn 13118  Topctop 13128  intcnt 13226  cnccncf 13690   lim climc 13756   D cdv 13757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-map 6643  df-pm 6644  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759
This theorem is referenced by:  dvconst  13794  dvid  13795
  Copyright terms: Public domain W3C validator