Theorem dvidlemap 13827

Description: Lemma for dvid 13829 and dvconst 13828. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlemap.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlemap	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2		cnex 7926	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	fpm 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5		dvfcnpm 13826	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
7		ssidd 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8	7, 1, 7	dvbss 13821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
9		reldvg 13815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → Rel (ℂ D 𝐹))
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℂ D 𝐹))
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Rel (ℂ D 𝐹))
12		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
14	13	cntoptop 13700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
15	13	cntoptopon 13699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 13182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	ntrtop 13295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
18	14, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
19	12, 18	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ))
20		limcresi 13802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
21		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22		ssidd 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
23		cncfmptc 13749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
24	21, 22, 22, 23	mp3an2i 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
26	24, 12, 25	cnmptlimc 13810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
27	20, 26	sselid 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
28		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
29	28	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥))
30		dvidlemap.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
31	30	3exp2 1225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
32	31	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
33	29, 32	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	33	mpteq2dva 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
35		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ
36		resmpt 4951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
38	34, 37	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
39	38	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
40	27, 39	eleqtrrd 2257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
41	15	toponrestid 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
42		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
44	41, 13, 42, 22, 43, 22	eldvap 13818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
45	19, 40, 44	mpbir2and 944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
46		releldm 4858	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
47	11, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
48	8, 47	eqelssd 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
49	48	feq2d 5349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
50	6, 49	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
51	50	ffnd 5362	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52		fnconstg 5409	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
53	21, 52	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
54	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
55	54	ffund 5365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56		funbrfvb 5554	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
57	55, 47, 56	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
58	45, 57	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
59	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
60		fvconst2g 5726	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
61	59, 60	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
62	58, 61	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
63	51, 53, 62	eqfnfvd 5612	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   ⊆ wss 3129  {csn 3591   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061   × cxp 4621  dom cdm 4623   ↾ cres 4625   ∘ ccom 4627  Rel wrel 4628  Fun wfun 5206   Fn wfn 5207  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   ↑_pm cpm 6643  ℂcc 7800   − cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  abscabs 10990  MetOpencmopn 13152  Topctop 13162  intcnt 13260  –cn→ccncf 13724   lim_ℂ climc 13790   D cdv 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793

This theorem is referenced by:  dvconst  13828  dvid  13829