Theorem dvidlemap 15605

Description: Lemma for dvid 15609 and dvconst 15608. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlemap.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlemap	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2		cnex 8256	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	fpm 6917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5		dvfcnpm 15604	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
7		ssidd 3261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8	7, 1, 7	dvbss 15599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
9		reldvg 15593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → Rel (ℂ D 𝐹))
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℂ D 𝐹))
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Rel (ℂ D 𝐹))
12		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
14	13	cntoptop 15447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
15	13	cntoptopon 15446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 14931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	ntrtop 15042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
18	14, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
19	12, 18	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ))
20		limcresi 15580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
21		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22		ssidd 3261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
23		cncfmptc 15510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
24	21, 22, 22, 23	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25		eqidd 2235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
26	24, 12, 25	cnmptlimc 15588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
27	20, 26	sselid 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
28		breq1 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
29	28	elrab 2975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥))
30		dvidlemap.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
31	30	3exp2 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
32	31	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
33	29, 32	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	33	mpteq2dva 4202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
35		ssrab2 3325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ
36		resmpt 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
38	34, 37	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
39	38	oveq1d 6067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
40	27, 39	eleqtrrd 2314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
41	15	toponrestid 14935	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
42		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
44	41, 13, 42, 22, 43, 22	eldvap 15596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
45	19, 40, 44	mpbir2and 953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
46		releldm 4994	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
47	11, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
48	8, 47	eqelssd 3259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
49	48	feq2d 5498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
50	6, 49	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
51	50	ffnd 5511	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52		fnconstg 5567	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
53	21, 52	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
54	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
55	54	ffund 5514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56		funbrfvb 5719	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
57	55, 47, 56	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
58	45, 57	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
59	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
60		fvconst2g 5900	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
61	59, 60	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
62	58, 61	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
63	51, 53, 62	eqfnfvd 5780	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3213  {csn 3691   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173   × cxp 4749  dom cdm 4751   ↾ cres 4753   ∘ ccom 4755  Rel wrel 4756  Fun wfun 5348   Fn wfn 5349  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↑_pm cpm 6885  ℂcc 8130   − cmin 8449   # cap 8860   / cdiv 8951  abscabs 11690  MetOpencmopn 14738  Topctop 14911  intcnt 15007  –cn→ccncf 15484   lim_ℂ climc 15568   D cdv 15569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-map 6886  df-pm 6887  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-xneg 10111  df-xadd 10112  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-rest 13475  df-topgen 13494  df-psmet 14740  df-xmet 14741  df-met 14742  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-top 14912  df-topon 14925  df-bases 14957  df-ntr 15010  df-cn 15102  df-cnp 15103  df-cncf 15485  df-limced 15570  df-dvap 15571

This theorem is referenced by:  dvconst  15608  dvid  15609