ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvidlemap GIF version

Theorem dvidlemap 14163
Description: Lemma for dvid 14165 and dvconst 14164. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
dvidlemap.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
dvidlem.3 𝐡 ∈ β„‚
Assertion
Ref Expression
dvidlemap (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvidlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
2 cnex 7935 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
32, 2fpm 6681 . . . . . 6 (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
41, 3syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
5 dvfcnpm 14162 . . . . 5 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) β†’ (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
64, 5syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
7 ssidd 3177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
87, 1, 7dvbss 14157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) βŠ† β„‚)
9 reldvg 14151 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ Rel (β„‚ D 𝐹))
107, 4, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Rel (β„‚ D 𝐹))
1110adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Rel (β„‚ D 𝐹))
12 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1413cntoptop 14036 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top
1513cntoptopon 14035 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615toponunii 13520 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = βˆͺ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1716ntrtop 13631 . . . . . . . . . 10 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) = β„‚)
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) = β„‚
1912, 18eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚))
20 limcresi 14138 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯) βŠ† (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) limβ„‚ π‘₯)
21 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ β„‚
22 ssidd 3177 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
23 cncfmptc 14085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
2421, 22, 22, 23mp3an2i 1342 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
25 eqidd 2178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ 𝐡 = 𝐡)
2624, 12, 25cnmptlimc 14146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) limβ„‚ π‘₯))
2720, 26sselid 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) limβ„‚ π‘₯))
28 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 # π‘₯ ↔ 𝑧 # π‘₯))
2928elrab 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # π‘₯))
30 dvidlemap.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
31303exp2 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 # π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡))))
3231imp43 355 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # π‘₯)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
3329, 32sylan2b 287 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝐡)
3433mpteq2dva 4094 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ 𝐡))
35 ssrab2 3241 . . . . . . . . . . . 12 {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† β„‚
36 resmpt 4956 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ 𝐡))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ 𝐡)
3834, 37eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}))
3938oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (((𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐡) β†Ύ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯}) limβ„‚ π‘₯))
4027, 39eleqtrrd 2257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
4115toponrestid 13524 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt β„‚)
42 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
431adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
4441, 13, 42, 22, 43, 22eldvap 14154 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
4519, 40, 44mpbir2and 944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡)
46 releldm 4863 . . . . . . 7 ((Rel (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
4711, 45, 46syl2anc 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹))
488, 47eqelssd 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = β„‚)
4948feq2d 5354 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚))
506, 49mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):β„‚βŸΆβ„‚)
5150ffnd 5367 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) Fn β„‚)
52 fnconstg 5414 . . 3 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
5321, 52mp1i 10 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) Fn β„‚)
546adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
5554ffund 5370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Fun (β„‚ D 𝐹))
56 funbrfvb 5559 . . . . 5 ((Fun (β„‚ D 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D 𝐹)) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5755, 47, 56syl2anc 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡 ↔ π‘₯(β„‚ D 𝐹)𝐡))
5845, 57mpbird 167 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5921a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
60 fvconst2g 5731 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
6159, 60sylan 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯) = 𝐡)
6258, 61eqtr4d 2213 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ Γ— {𝐡})β€˜π‘₯))
6351, 53, 62eqfnfvd 5617 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ Γ— {𝐡}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3130  {csn 3593   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065   Γ— cxp 4625  dom cdm 4627   β†Ύ cres 4629   ∘ ccom 4631  Rel wrel 4632  Fun wfun 5211   Fn wfn 5212  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  abscabs 11006  MetOpencmopn 13448  Topctop 13500  intcnt 13596  β€“cnβ†’ccncf 14060   limβ„‚ climc 14126   D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  dvconst  14164  dvid  14165
  Copyright terms: Public domain W3C validator