ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvidlemap GIF version

Theorem dvidlemap 12861
Description: Lemma for dvid 12863 and dvconst 12862. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlemap.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlemap (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvidlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
2 cnex 7766 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
32, 2fpm 6581 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
41, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5 dvfcnpm 12860 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
7 ssidd 3121 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
87, 1, 7dvbss 12855 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
9 reldvg 12849 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → Rel (ℂ D 𝐹))
107, 4, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel (ℂ D 𝐹))
1110adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Rel (ℂ D 𝐹))
12 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 eqid 2140 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413cntoptop 12734 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
1513cntoptopon 12733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
1615toponunii 12216 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1716ntrtop 12329 . . . . . . . . . 10 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
1814, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
1912, 18eleqtrrdi 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ))
20 limcresi 12836 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥)
21 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℂ
22 ssidd 3121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
23 cncfmptc 12783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2421, 22, 22, 23mp3an2i 1321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25 eqidd 2141 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
2624, 12, 25cnmptlimc 12844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2720, 26sseldi 3098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥))
28 breq1 3938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥𝑧 # 𝑥))
2928elrab 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥))
30 dvidlemap.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
31303exp2 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
3231imp43 353 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
3329, 32sylan2b 285 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
3433mpteq2dva 4024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
35 ssrab2 3185 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ
36 resmpt 4873 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
3834, 37eqtr4di 2191 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
3938oveq1d 5795 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) lim 𝑥))
4027, 39eleqtrrd 2220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
4115toponrestid 12220 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
42 eqid 2140 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
431adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4441, 13, 42, 22, 43, 22eldvap 12852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
4519, 40, 44mpbir2and 929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
46 releldm 4780 . . . . . . 7 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
4711, 45, 46syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
488, 47eqelssd 3119 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4948feq2d 5266 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
506, 49mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
5150ffnd 5279 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52 fnconstg 5326 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
5321, 52mp1i 10 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
546adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
5554ffund 5282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56 funbrfvb 5470 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5755, 47, 56syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5845, 57mpbird 166 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5921a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
60 fvconst2g 5640 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6159, 60sylan 281 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6258, 61eqtr4d 2176 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
6351, 53, 62eqfnfvd 5527 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  {crab 2421  wss 3074  {csn 3530   class class class wbr 3935  cmpt 3995   × cxp 4543  dom cdm 4545  cres 4547  ccom 4549  Rel wrel 4550  Fun wfun 5123   Fn wfn 5124  wf 5125  cfv 5129  (class class class)co 5780  pm cpm 6549  cc 7640  cmin 7955   # cap 8365   / cdiv 8454  abscabs 10799  MetOpencmopn 12186  Topctop 12196  intcnt 12294  cnccncf 12758   lim climc 12824   D cdv 12825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760  ax-arch 7761  ax-caucvg 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-if 3478  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-iord 4294  df-on 4296  df-ilim 4297  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-isom 5138  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-frec 6294  df-map 6550  df-pm 6551  df-sup 6877  df-inf 6878  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-inn 8743  df-2 8801  df-3 8802  df-4 8803  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-q 9437  df-rp 9469  df-xneg 9587  df-xadd 9588  df-seqfrec 10248  df-exp 10322  df-cj 10644  df-re 10645  df-im 10646  df-rsqrt 10800  df-abs 10801  df-rest 12154  df-topgen 12173  df-psmet 12188  df-xmet 12189  df-met 12190  df-bl 12191  df-mopn 12192  df-top 12197  df-topon 12210  df-bases 12242  df-ntr 12297  df-cn 12389  df-cnp 12390  df-cncf 12759  df-limced 12826  df-dvap 12827
This theorem is referenced by:  dvconst  12862  dvid  12863
  Copyright terms: Public domain W3C validator