Theorem dvidlemap 14698

Description: Lemma for dvid 14700 and dvconst 14699. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlemap.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidlemap	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlemap

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2		cnex 7975	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	fpm 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
5		dvfcnpm 14697	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
7		ssidd 3195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
8	7, 1, 7	dvbss 14692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
9		reldvg 14686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → Rel (ℂ D 𝐹))
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℂ D 𝐹))
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Rel (ℂ D 𝐹))
12		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		eqid 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
14	13	cntoptop 14554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
15	13	cntoptopon 14553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 14038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	ntrtop 14149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
18	14, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
19	12, 18	eleqtrrdi 2283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ))
20		limcresi 14673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
21		dvidlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22		ssidd 3195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
23		cncfmptc 14603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
24	21, 22, 22, 23	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25		eqidd 2190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
26	24, 12, 25	cnmptlimc 14681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
27	20, 26	sselid 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
28		breq1 4028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
29	28	elrab 2912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥))
30		dvidlemap.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
31	30	3exp2 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
32	31	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
33	29, 32	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	33	mpteq2dva 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
35		ssrab2 3259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ
36		resmpt 4980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
38	34, 37	eqtr4di 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
39	38	oveq1d 5919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
40	27, 39	eleqtrrd 2269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
41	15	toponrestid 14042	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
42		eqid 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
44	41, 13, 42, 22, 43, 22	eldvap 14689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
45	19, 40, 44	mpbir2and 946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
46		releldm 4887	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
47	11, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
48	8, 47	eqelssd 3193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
49	48	feq2d 5379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
50	6, 49	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
51	50	ffnd 5392	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52		fnconstg 5439	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
53	21, 52	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
54	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ)
55	54	ffund 5395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56		funbrfvb 5586	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
57	55, 47, 56	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
58	45, 57	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
59	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
60		fvconst2g 5758	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
61	59, 60	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
62	58, 61	eqtr4d 2225	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
63	51, 53, 62	eqfnfvd 5644	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {crab 2472   ⊆ wss 3148  {csn 3614   class class class wbr 4025   ↦ cmpt 4086   × cxp 4649  dom cdm 4651   ↾ cres 4653   ∘ ccom 4655  Rel wrel 4656  Fun wfun 5236   Fn wfn 5237  ⟶wf 5238  ‘cfv 5242  (class class class)co 5904   ↑_pm cpm 6683  ℂcc 7849   − cmin 8169   # cap 8579   / cdiv 8670  abscabs 11053  MetOpencmopn 13900  Topctop 14018  intcnt 14114  –cn→ccncf 14578   lim_ℂ climc 14661   D cdv 14662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-mulrcl 7950  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-precex 7961  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-apti 7966  ax-pre-ltadd 7967  ax-pre-mulgt0 7968  ax-pre-mulext 7969  ax-arch 7970  ax-caucvg 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1st 6173  df-2nd 6174  df-recs 6338  df-frec 6424  df-map 6684  df-pm 6685  df-sup 7022  df-inf 7023  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-reap 8573  df-ap 8580  df-div 8671  df-inn 8961  df-2 9019  df-3 9020  df-4 9021  df-n0 9218  df-z 9295  df-uz 9570  df-q 9662  df-rp 9696  df-xneg 9814  df-xadd 9815  df-seqfrec 10491  df-exp 10566  df-cj 10898  df-re 10899  df-im 10900  df-rsqrt 11054  df-abs 11055  df-rest 12763  df-topgen 12782  df-psmet 13902  df-xmet 13903  df-met 13904  df-bl 13905  df-mopn 13906  df-top 14019  df-topon 14032  df-bases 14064  df-ntr 14117  df-cn 14209  df-cnp 14210  df-cncf 14579  df-limced 14663  df-dvap 14664

This theorem is referenced by:  dvconst  14699  dvid  14700