Theorem fnopfvb 5538

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership. (Contributed by NM, 7-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fnopfvb	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem fnopfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnbrfvb 5537	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐵𝐹𝐶))
2		df-br 3990	. 2 ⊢ (𝐵𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	bitrdi 195	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) = 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   Fn wfn 5193  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  funopfvb  5540  fvopab3g  5569  f1ofveu  5841  fnotovb  5896  ovid  5969  ov  5972  ovg  5991