Theorem funfvop 5747

Description: Ordered pair with function value. Part of Theorem 4.3(i) of [Monk1] p. 41. (Contributed by NM, 14-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
funfvop	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem funfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)
2		funopfvb 5675	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
3	1, 2	mpbii 148	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  funfvbrb  5748  fvimacnv  5750  fnopfv  5765  fvelrn  5766  dff3im  5780  funfvima3  5873  fundmen  6959