Theorem fvimacnv 5623

Description: The argument of a function value belongs to the preimage of any class containing the function value. Raph Levien remarks: "This proof is unsatisfying, because it seems to me that funimass2 5286 could probably be strengthened to a biconditional." (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem fvimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5620	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		funfvex 5524	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
3		opelcnvg 4800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
4	2, 3	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
5	1, 4	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹)
6		elimasng 4989	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
7	2, 6	sylancom 420	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
9		snssg 3723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10	2, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
11		imass2 4997	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl6bi 163	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	13	sseld 3152	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))))
16	8, 15	mpid 42	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
17		fvimacnvi 5622	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	adantr 276	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
20	16, 19	impbid 129	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735   ⊆ wss 3127  {csn 3589  ⟨cop 3592  ^◡ccnv 4619  dom cdm 4620   “ cima 4623  Fun wfun 5202  ‘cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216

This theorem is referenced by:  funimass3  5624  elpreima  5627  fisumss  11366