Theorem fvimacnv 5655

Description: The argument of a function value belongs to the preimage of any class containing the function value. Raph Levien remarks: "This proof is unsatisfying, because it seems to me that funimass2 5316 could probably be strengthened to a biconditional." (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem fvimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5652	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		funfvex 5554	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
3		opelcnvg 4828	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
4	2, 3	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
5	1, 4	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹)
6		elimasng 5017	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
7	2, 6	sylancom 420	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
9		snssg 3744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10	2, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
11		imass2 5025	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	13	sseld 3169	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))))
16	8, 15	mpid 42	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
17		fvimacnvi 5654	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	adantr 276	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
20	16, 19	impbid 129	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  {csn 3610  ⟨cop 3613  ^◡ccnv 4646  dom cdm 4647   “ cima 4650  Fun wfun 5232  ‘cfv 5238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246

This theorem is referenced by:  funimass3  5656  elpreima  5659  fisumss  11441  psrbaglesuppg  13975