Theorem fvimacnv 5771

Description: The argument of a function value belongs to the preimage of any class containing the function value. Raph Levien remarks: "This proof is unsatisfying, because it seems to me that funimass2 5415 could probably be strengthened to a biconditional." (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Proof of Theorem fvimacnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 5768	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		funfvex 5665	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
3		opelcnvg 4916	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
4	2, 3	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹 ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹))
5	1, 4	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹)
6		elimasng 5111	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
7	2, 6	sylancom 420	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ ⟨(𝐹‘𝐴), 𝐴⟩ ∈ ◡𝐹))
8	5, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
9		snssg 3812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
10	2, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵))
11		imass2 5119	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵)))
13	12	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ⊆ (◡𝐹 “ 𝐵))
14	13	sseld 3227	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵))))
16	8, 15	mpid 42	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))
17		fvimacnvi 5770	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
19	18	adantr 276	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
20	16, 19	impbid 129	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {csn 3673  ⟨cop 3676  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731   “ cima 4734  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  funimass3  5772  elpreima  5775  fisumss  12014  psrbaglesuppg  14748