Theorem ssdomg 6951

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 5623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 5589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 111	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 5494	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 5358	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
12		cnvi 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 5347	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 5402	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17	10, 16	jctir 313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18		df-f1 5331	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20	19	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
21		f1dom2g 6928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
23	22	expcom 116	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088   I cid 4385  ^◡ccnv 4724   ↾ cres 4727  Fun wfun 5320  ⟶wf 5322  –1-1→wf1 5323  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325   ≼ cdom 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  cnvct  6983  ssct  6999  xpdom3m  7017  0domg  7022  mapdom1g  7032  phplem4dom  7047  nndomo  7049  phpm  7051  fict  7054  domfiexmid  7066  infnfi  7083  exmidfodomrlemr  7412  exmidfodomrlemrALT  7413  pw1dom2  7444  fihashss  11079  phicl2  12785  phibnd  12788  4sqlem11  12973  qnnen  13051  isnzr2  14197  sbthom  16630