ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg GIF version

Theorem ssdomg 6640
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4037 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 109 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 5373 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 5341 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 144 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 110 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 5315 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 5254 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 420 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 5125 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4913 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 5114 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 145 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 5165 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 311 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 5098 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 133 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 274 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 6618 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1201 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 115 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465  Vcvv 2660  wss 3041   class class class wbr 3899   I cid 4180  ccnv 4508  cres 4511  Fun wfun 5087  wf 5089  1-1wf1 5090  ontowfo 5091  1-1-ontowf1o 5092  cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  cnvct  6671  ssct  6680  xpdom3m  6696  0domg  6699  mapdom1g  6709  phplem4dom  6724  nndomo  6726  phpm  6727  fict  6730  domfiexmid  6740  infnfi  6757  exmidfodomrlemr  7026  exmidfodomrlemrALT  7027  fihashss  10530  phicl2  11817  phibnd  11820  qnnen  11871  pw1dom2  13117  sbthom  13148
  Copyright terms: Public domain W3C validator