Theorem ssdomg 7031

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 5659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 5625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 111	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 5595	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 5526	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 5389	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
12		cnvi 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 5378	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 5433	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17	10, 16	jctir 313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18		df-f1 5362	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20	19	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
21		f1dom2g 7008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
23	22	expcom 116	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   I cid 4414  ^◡ccnv 4753   ↾ cres 4756  Fun wfun 5351  ⟶wf 5353  –1-1→wf1 5354  –onto→wfo 5355  –1-1-onto→wf1o 5356   ≼ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  cnvct  7063  ssct  7080  xpdom3m  7098  0domg  7103  mapdom1g  7113  phplem4dom  7129  nndomo  7131  phpm  7133  fict  7136  domfiexmid  7148  infnfi  7165  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  pw1dom2  7550  fihashss  11206  phicl2  12936  phibnd  12939  4sqlem11  13124  qnnen  13266  isnzr2  14429  sbthom  16932