ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg GIF version

Theorem ssdomg 6678
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4073 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 109 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 5411 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 5379 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 144 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 110 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 5351 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 5290 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 421 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 5161 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4949 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 5150 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 145 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 5201 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 311 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 5134 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 133 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 274 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 6656 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1217 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 115 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  Vcvv 2689  wss 3074   class class class wbr 3935   I cid 4216  ccnv 4544  cres 4547  Fun wfun 5123  wf 5125  1-1wf1 5126  ontowfo 5127  1-1-ontowf1o 5128  cdom 6639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-dom 6642
This theorem is referenced by:  cnvct  6709  ssct  6718  xpdom3m  6734  0domg  6737  mapdom1g  6747  phplem4dom  6762  nndomo  6764  phpm  6765  fict  6768  domfiexmid  6778  infnfi  6795  exmidfodomrlemr  7073  exmidfodomrlemrALT  7074  fihashss  10592  phicl2  11919  phibnd  11922  qnnen  11973  pw1dom2  13354  sbthom  13389
  Copyright terms: Public domain W3C validator