Theorem climshft2 11107

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
climshft2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
climshft2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climshft2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climshft2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
3		climshft2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5	4	negcld 8084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6		ovshftex 10623	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8		climshft2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
9		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		funi 5163	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
11		elex 2700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
13		dmi 4762	. . . . . . . . 9 ⊢ dom I = V
14	12, 13	eleqtrrdi 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom I )
15		funfvex 5446	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
16	10, 14, 15	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
17	16	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
18	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19		eluzelz 9359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	19, 1	eleq2s 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		shftval4g 10641	. . . . . 6 ⊢ ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25		fvi 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
27	26	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
28	27	oveq1d 5797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
29	28	fveq1d 5431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30		addcom 7923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
31	4, 21, 30	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
32	27, 31	fveq12d 5436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
33	24, 29, 32	3eqtr3d 2181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34		climshft2.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))
35	33, 34	eqtrd 2173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	1, 7, 8, 9, 35	climeq 11100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
37	3	znegcld 9199	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38		climshft 11105	. . 3 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
39	37, 2, 38	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
40	36, 39	bitr3d 189	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   class class class wbr 3937   I cid 4218  dom cdm 4547  Fun wfun 5125  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642   + caddc 7647  -cneg 7958  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350   shift cshi 10618   ⇝ cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-shft 10619  df-clim 11080

This theorem is referenced by:  trireciplem  11301