ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climshft2 GIF version

Theorem climshft2 11269
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climshft2.6 . . . 4 (𝜑𝐺𝑋)
3 climshft2.3 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43zcnd 9335 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
54negcld 8217 . . . 4 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6 ovshftex 10783 . . . 4 ((𝐺𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
9 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 funi 5230 . . . . . . . 8 Fun I
11 elex 2741 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑋𝐺 ∈ V)
122, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
13 dmi 4826 . . . . . . . . 9 dom I = V
1412, 13eleqtrrdi 2264 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom I )
15 funfvex 5513 . . . . . . . 8 ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1610, 14, 15sylancr 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1716adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
184adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19 eluzelz 9496 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
2019, 1eleq2s 2265 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
2120zcnd 9335 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
2221adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23 shftval4g 10801 . . . . . 6 ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1233 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25 fvi 5553 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
262, 25syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2726adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2827oveq1d 5868 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
2928fveq1d 5498 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30 addcom 8056 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
314, 21, 30syl2an 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
3227, 31fveq12d 5503 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
3324, 29, 323eqtr3d 2211 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
3533, 34eqtrd 2203 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
361, 7, 8, 9, 35climeq 11262 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
373znegcld 9336 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38 climshft 11267 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
3937, 2, 38syl2anc 409 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
4036, 39bitr3d 189 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730   class class class wbr 3989   I cid 4273  dom cdm 4611  Fun wfun 5192  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772   + caddc 7777  -cneg 8091  cz 9212  cuz 9487   shift cshi 10778  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-shft 10779  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  trireciplem  11463
  Copyright terms: Public domain W3C validator