ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climshft2 GIF version

Theorem climshft2 11346
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climshft2.6 . . . 4 (𝜑𝐺𝑋)
3 climshft2.3 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43zcnd 9406 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
54negcld 8285 . . . 4 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6 ovshftex 10860 . . . 4 ((𝐺𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
9 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 funi 5267 . . . . . . . 8 Fun I
11 elex 2763 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑋𝐺 ∈ V)
122, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
13 dmi 4860 . . . . . . . . 9 dom I = V
1412, 13eleqtrrdi 2283 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom I )
15 funfvex 5551 . . . . . . . 8 ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1610, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1716adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
184adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19 eluzelz 9567 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
2019, 1eleq2s 2284 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
2120zcnd 9406 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
2221adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23 shftval4g 10878 . . . . . 6 ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1249 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25 fvi 5594 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
262, 25syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2726adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2827oveq1d 5911 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
2928fveq1d 5536 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30 addcom 8124 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
314, 21, 30syl2an 289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
3227, 31fveq12d 5541 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
3324, 29, 323eqtr3d 2230 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
3533, 34eqtrd 2222 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
361, 7, 8, 9, 35climeq 11339 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
373znegcld 9407 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38 climshft 11344 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
3937, 2, 38syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
4036, 39bitr3d 190 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018   I cid 4306  dom cdm 4644  Fun wfun 5229  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839   + caddc 7844  -cneg 8159  cz 9283  cuz 9558   shift cshi 10855  cli 11318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-shft 10856  df-clim 11319
This theorem is referenced by:  trireciplem  11540
  Copyright terms: Public domain W3C validator