Theorem climshft2 12016

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
climshft2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
climshft2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climshft2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climshft2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
3		climshft2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5	4	negcld 8587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6		ovshftex 11529	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8		climshft2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
9		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		funi 5389	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
11		elex 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
13		dmi 4976	. . . . . . . . 9 ⊢ dom I = V
14	12, 13	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom I )
15		funfvex 5692	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
16	10, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
18	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19		eluzelz 9881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	19, 1	eleq2s 2329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		shftval4g 11547	. . . . . 6 ⊢ ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25		fvi 5739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
28	27	oveq1d 6073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
29	28	fveq1d 5677	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30		addcom 8426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
31	4, 21, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
32	27, 31	fveq12d 5682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
33	24, 29, 32	3eqtr3d 2275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34		climshft2.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))
35	33, 34	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	1, 7, 8, 9, 35	climeq 12009	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
37	3	znegcld 9720	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38		climshft 12014	. . 3 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
39	37, 2, 38	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
40	36, 39	bitr3d 190	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   class class class wbr 4114   I cid 4414  dom cdm 4754  Fun wfun 5351  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146  -cneg 8461  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871   shift cshi 11524   ⇝ cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-shft 11525  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  trireciplem  12211