Theorem climshft2 11449

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climshft2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
climshft2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
climshft2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climshft2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climshft2.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climshft2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
3		climshft2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5	4	negcld 8317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6		ovshftex 10963	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8		climshft2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
9		climshft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		funi 5286	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
11		elex 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
12	2, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
13		dmi 4877	. . . . . . . . 9 ⊢ dom I = V
14	12, 13	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom I )
15		funfvex 5571	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
16	10, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
18	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19		eluzelz 9601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	19, 1	eleq2s 2288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		shftval4g 10981	. . . . . 6 ⊢ ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25		fvi 5614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
28	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
29	28	fveq1d 5556	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30		addcom 8156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
31	4, 21, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
32	27, 31	fveq12d 5561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
33	24, 29, 32	3eqtr3d 2234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34		climshft2.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹‘𝑘))
35	33, 34	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	1, 7, 8, 9, 35	climeq 11442	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
37	3	znegcld 9441	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38		climshft 11447	. . 3 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
39	37, 2, 38	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
40	36, 39	bitr3d 190	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   class class class wbr 4029   I cid 4319  dom cdm 4659  Fun wfun 5248  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875  -cneg 8191  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592   shift cshi 10958   ⇝ cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-shft 10959  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  trireciplem  11643