Theorem 1strbas 12795

Description: The base set of a constructed one-slot structure. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
1str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
1strbas	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 1strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12735	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		1str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}
3		basendxnn 12734	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4		opexg 4261	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4217	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
8	2, 7	eqeltrid 2283	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
9		funsng 5304	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
10	3, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
11	2	funeqi 5279	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
12	10, 11	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun 𝐺)
13		snidg 3651	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
14	5, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
15	14, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 8, 12, 15	strslfvd 12720	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3622  ⟨cop 3625  Fun wfun 5252  ‘cfv 5258  ℕcn 8990  ndxcnx 12675  Basecbs 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684

This theorem is referenced by: (None)