Theorem 1strbas 12517

Description: The base set of a constructed one-slot structure. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
1str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
1strbas	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 1strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12472	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		1str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}
3		basendxnn 12471	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4		opexg 4213	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4170	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
8	2, 7	eqeltrid 2257	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
9		funsng 5244	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
10	3, 9	mpan 422	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
11	2	funeqi 5219	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
12	10, 11	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun 𝐺)
13		snidg 3612	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
14	5, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
15	14, 2	eleqtrrdi 2264	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 8, 12, 15	strslfvd 12457	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ⟨cop 3586  Fun wfun 5192  ‘cfv 5198  ℕcn 8878  ndxcnx 12413  Basecbs 12416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422

This theorem is referenced by: (None)