Theorem 1strbas 12047

Description: The base set of a constructed one-slot structure. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
1str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
1strbas	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 1strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12004	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		1str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩}
3		basendxnn 12003	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4		opexg 4145	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpan 420	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4103	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ∈ V)
8	2, 7	eqeltrid 2224	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
9		funsng 5164	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
10	3, 9	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
11	2	funeqi 5139	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
12	10, 11	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → Fun 𝐺)
13		snidg 3549	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
14	5, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩})
15	14, 2	eleqtrrdi 2231	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
16	1, 8, 12, 15	strslfvd 11989	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  {csn 3522  ⟨cop 3525  Fun wfun 5112  ‘cfv 5118  ℕcn 8713  ndxcnx 11945  Basecbs 11948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-inn 8714  df-ndx 11951  df-slot 11952  df-base 11954

This theorem is referenced by: (None)