Theorem strle1g 12727

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1g	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 8993	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 8506	. . . 4 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1177	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼))
6		difss 3286	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
8	7, 1	eqeltri 2266	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
9		funsng 5301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10	8, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11		funss 5274	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13		opexg 4258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
14	8, 13	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15		snexg 4214	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17		dmsnopg 5138	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
18	7	sneqi 3631	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
19	1	nnzi 9341	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
20		fzsn 10135	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
22	18, 21	eqtr4i 2217	. . . 4 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
23	17, 22	eqtrdi 2242	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24		eqimss 3234	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26		isstructr 12636	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1251	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  {csn 3619  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  dom cdm 4660  Fun wfun 5249  (class class class)co 5919   ≤ cle 8057  ℕcn 8984  ℤcz 9320  ...cfz 10077   Struct cstr 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623

This theorem is referenced by:  strle2g  12728  strle3g  12729  1strstrg  12737  srngstrd  12766  lmodstrd  12784  cnfldstr  14057