Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle1g GIF version

Theorem strle1g 12058
 Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1g (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . . 4 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 8736 . . . . 5 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 8254 . . . 4 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1159 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
54a1i 9 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼))
6 difss 3202 . . 3 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7 strle1.a . . . . 5 𝐴 = 𝐼
87, 1eqeltri 2212 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
9 funsng 5169 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
108, 9mpan 420 . . 3 (𝑋𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11 funss 5142 . . 3 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
126, 10, 11mpsyl 65 . 2 (𝑋𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13 opexg 4150 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
148, 13mpan 420 . . 3 (𝑋𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15 snexg 4108 . . 3 (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
1614, 15syl 14 . 2 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17 dmsnopg 5010 . . . 4 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
187sneqi 3539 . . . . 5 {𝐴} = {𝐼}
191nnzi 9082 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
20 fzsn 9853 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2218, 21eqtr4i 2163 . . . 4 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2317, 22syl6eq 2188 . . 3 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24 eqimss 3151 . . 3 (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
2523, 24syl 14 . 2 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26 isstructr 11983 . 2 (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
275, 12, 16, 25, 26syl13anc 1218 1 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∖ cdif 3068   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  Fun wfun 5117  (class class class)co 5774   ≤ cle 7808  ℕcn 8727  ℤcz 9061  ...cfz 9797   Struct cstr 11964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-struct 11970 This theorem is referenced by:  strle2g  12059  strle3g  12060  1strstrg  12066  srngstrd  12090  lmodstrd  12101
 Copyright terms: Public domain W3C validator