Theorem strle1g 12508

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1g	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 8887	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 8404	. . . 4 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1170	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼))
6		difss 3253	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
8	7, 1	eqeltri 2243	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
9		funsng 5244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10	8, 9	mpan 422	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11		funss 5217	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13		opexg 4213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
14	8, 13	mpan 422	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15		snexg 4170	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17		dmsnopg 5082	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
18	7	sneqi 3595	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
19	1	nnzi 9233	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
20		fzsn 10022	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
22	18, 21	eqtr4i 2194	. . . 4 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
23	17, 22	eqtrdi 2219	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24		eqimss 3201	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26		isstructr 12431	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1235	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  Fun wfun 5192  (class class class)co 5853   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ...cfz 9965   Struct cstr 12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418

This theorem is referenced by:  strle2g  12509  strle3g  12510  1strstrg  12516  srngstrd  12540  lmodstrd  12551