Theorem strle1g 13511

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1g	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 9316	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 8815	. . . 4 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1206	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼))
6		difss 3355	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
8	7, 1	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
9		funsng 5427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10	8, 9	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11		funss 5396	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13		opexg 4368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
14	8, 13	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15		snexg 4321	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17		dmsnopg 5259	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
18	7	sneqi 3721	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
19	1	nnzi 9670	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
20		fzsn 10483	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
22	18, 21	eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
23	17, 22	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24		eqimss 3302	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26		isstructr 13418	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1280	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  Fun wfun 5371  (class class class)co 6085   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ...cfz 10422   Struct cstr 13399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13405

This theorem is used by:  strle2g  13512  strle3g  13513  1strstrg  13521  srngstrd  13551  lmodstrd  13569  cnfldstr  14946