ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle1g GIF version

Theorem strle1g 11748
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1g (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . . 4 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 8529 . . . . 5 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 8060 . . . 4 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1124 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
54a1i 9 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼))
6 difss 3141 . . 3 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7 strle1.a . . . . 5 𝐴 = 𝐼
87, 1eqeltri 2167 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
9 funsng 5094 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
108, 9mpan 416 . . 3 (𝑋𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11 funss 5068 . . 3 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
126, 10, 11mpsyl 65 . 2 (𝑋𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13 opexg 4079 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
148, 13mpan 416 . . 3 (𝑋𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15 snexg 4040 . . 3 (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
1614, 15syl 14 . 2 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17 dmsnopg 4936 . . . 4 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
187sneqi 3478 . . . . 5 {𝐴} = {𝐼}
191nnzi 8869 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
20 fzsn 9629 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2119, 20ax-mp 7 . . . . 5 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2218, 21eqtr4i 2118 . . . 4 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2317, 22syl6eq 2143 . . 3 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24 eqimss 3093 . . 3 (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
2523, 24syl 14 . 2 (𝑋𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26 isstructr 11673 . 2 (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
275, 12, 16, 25, 26syl13anc 1183 1 (𝑋𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  Vcvv 2633  cdif 3010  wss 3013  c0 3302  {csn 3466  cop 3469   class class class wbr 3867  dom cdm 4467  Fun wfun 5043  (class class class)co 5690  cle 7620  cn 8520  cz 8848  ...cfz 9573   Struct cstr 11654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11660
This theorem is referenced by:  strle2g  11749  strle3g  11750  1strstrg  11756  srngstrd  11780  lmodstrd  11791
  Copyright terms: Public domain W3C validator