Theorem strle1g 13250

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1g	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 9195	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 8708	. . . 4 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1202	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼))
6		difss 3335	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
8	7, 1	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
9		funsng 5383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10	8, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11		funss 5352	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13		opexg 4326	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
14	8, 13	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15		snexg 4280	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17		dmsnopg 5215	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
18	7	sneqi 3685	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
19	1	nnzi 9543	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
20		fzsn 10344	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
22	18, 21	eqtr4i 2255	. . . 4 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
23	17, 22	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24		eqimss 3282	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26		isstructr 13158	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1276	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  Fun wfun 5327  (class class class)co 6028   ≤ cle 8258  ℕcn 9186  ℤcz 9522  ...cfz 10286   Struct cstr 13139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145

This theorem is referenced by:  strle2g  13251  strle3g  13252  1strstrg  13260  srngstrd  13290  lmodstrd  13308  cnfldstr  14634