Theorem strle1g 12567

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1g	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Proof of Theorem strle1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 8930	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 8444	. . . 4 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1175	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼))
6		difss 3263	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
7		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
8	7, 1	eqeltri 2250	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
9		funsng 5264	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10	8, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
11		funss 5237	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
12	6, 10, 11	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
13		opexg 4230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
14	8, 13	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V)
15		snexg 4186	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝑋⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V)
17		dmsnopg 5102	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {𝐴})
18	7	sneqi 3606	. . . . 5 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
19	1	nnzi 9276	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
20		fzsn 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
22	18, 21	eqtr4i 2201	. . . 4 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
23	17, 22	eqtrdi 2226	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼))
24		eqimss 3211	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} = (𝐼...𝐼) → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
25	23, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))
26		isstructr 12479	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝑋⟩} ∈ V ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼))) → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)
27	5, 12, 16, 25, 26	syl13anc 1240	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∖ cdif 3128   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  {csn 3594  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  dom cdm 4628  Fun wfun 5212  (class class class)co 5877   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  ℤcz 9255  ...cfz 10010   Struct cstr 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466

This theorem is referenced by:  strle2g  12568  strle3g  12569  1strstrg  12577  srngstrd  12606  lmodstrd  12624