Theorem grpplusfo 13557

Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusfo	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13548	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndpfo 13479	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   × cxp 4717  –onto→wfo 5316  ‘cfv 5318  Basecbs 13040  +_𝑓cplusf 13394  Mndcmnd 13457  Grpcgrp 13541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-inn 9119  df-2 9177  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-plusf 13396  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544

This theorem is referenced by: (None)