Theorem grpplusfo 13570

Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpplusfo	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13561	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpplusf.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mndpfo 13492	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   × cxp 4718  –onto→wfo 5319  ‘cfv 5321  Basecbs 13053  +_𝑓cplusf 13407  Mndcmnd 13470  Grpcgrp 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-plusf 13409  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557

This theorem is referenced by: (None)