Theorem mulgass 13691

Description: Product of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1027	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elznn0 9457	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
3	2	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5		simpr2 1028	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		elznn0 9457	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
7	6	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
9		grpmnd 13535	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		simplr3 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		mulgass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		mulgass.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16	14, 15	mulgnn0ass 13690	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
17	10, 11, 12, 13, 16	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
18	17	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
19	1	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	5	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21	19, 20	mulneg1d 8553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
23	22	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
24	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
25		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
26		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		simpr3 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	14, 15	mulgnn0ass 13690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
30	24, 25, 26, 28, 29	syl13anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
31	23, 30	eqtr3d 2264	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
32		fveq2 5626	. . . . . . 7 ⊢ ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
33		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
34	1, 5	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
36	14, 15, 35	mulgneg 13672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
37	33, 34, 27, 36	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋)))
38	37	fveq2d 5630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))))
39	14, 15	mulgcl 13671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	33, 34, 27, 39	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
41	14, 35	grpinvinv 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
42	40, 41	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
43	38, 42	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
44	14, 15	mulgcl 13671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
45	33, 5, 27, 44	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	14, 15, 35	mulgneg 13672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
47	33, 1, 45, 46	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
48	47	fveq2d 5630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
49	14, 15	mulgcl 13671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	33, 1, 45, 49	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	14, 35	grpinvinv 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
52	50, 51	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
53	48, 52	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
54	43, 53	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘(-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
55	32, 54	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
57	31, 56	syldan 282	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
58	57	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
59	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
60		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
62	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
63	14, 15	mulgnn0ass 13690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
64	59, 60, 61, 62, 63	syl13anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
65	19, 20	mulneg2d 8554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
66	65	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
67	66	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
68	14, 15, 35	mulgneg 13672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
69	33, 5, 27, 68	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
70	69	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
71	14, 15, 35	mulgneg2 13688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
72	33, 1, 45, 71	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
73	70, 72	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
74	73	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
75	64, 67, 74	3eqtr3d 2270	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-(𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
76	75, 56	syldan 282	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
77	76	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
78	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
79		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
80		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
81	27	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	14, 15	mulgnn0ass 13690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
83	78, 79, 80, 81, 82	syl13anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)))
84	19, 20	mul2negd 8555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
85	84	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
86	85	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑀 · -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
87	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
88	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
89		nn0z 9462	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
90	89	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
91	14, 15	mulgcl 13671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
92	87, 90, 81, 91	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
93	14, 15, 35	mulgneg2 13688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
94	87, 88, 92, 93	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))))
95	14, 15, 35	mulgneg 13672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
96	87, 90, 81, 95	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
97	20	negnegd 8444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → --𝑁 = 𝑁)
98	97	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → --𝑁 = 𝑁)
99	98	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
100	96, 99	eqtr3d 2264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
101	100	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
102	94, 101	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑀 · (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
103	83, 86, 102	3eqtr3d 2270	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
104	103	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
105	18, 58, 77, 104	ccased 971	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
106	4, 8, 105	mp2and 433	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994   · cmul 8000  -cneg 8314  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  Basecbs 13027  Mndcmnd 13444  Grpcgrp 13528  inv_gcminusg 13529  ._gcmg 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652

This theorem is referenced by:  mulgassr  13692  mulgrhm  14567