Theorem issubg3 13729

Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg3	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	subg0cl 13719	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
4	1	subm0cl 13511	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
7		elex2 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
8		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
9	7, 8	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
11		r19.26 2657	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
13	10, 12	3anbi23d 1349	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
14		anass 401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
15		df-3an 1004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	anbi1i 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17		df-3an 1004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
18	14, 16, 17	3bitr4ri 213	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
19	13, 18	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
20		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
22		issubg3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	issubg2m 13726	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
25		grpmnd 13540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
26	20, 1, 21	issubm 13505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	27	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
29	28	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
30	19, 24, 29	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
31	30	ex 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
32	3, 6, 31	pm5.21ndd 710	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032  +_gcplusg 13110  0_gc0g 13289  Mndcmnd 13449  SubMndcsubmnd 13491  Grpcgrp 13533  inv_gcminusg 13534  SubGrpcsubg 13704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-submnd 13493  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-subg 13707

This theorem is referenced by:  subgsubm  13733  0subg  13736  ghmeql  13804