Theorem issubg3 13995

Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg3	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	subg0cl 13985	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
4	1	subm0cl 13785	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
7		elex2 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
8		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
9	7, 8	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
11		r19.26 2677	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
13	10, 12	3anbi23d 1356	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
14		anass 405	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
15		df-3an 1011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	anbi1i 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17		df-3an 1011	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
18	14, 16, 17	3bitr4ri 213	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
19	13, 18	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
20		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
22		issubg3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	issubg2m 13992	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
25		grpmnd 13812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
26	20, 1, 21	issubm 13779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	27	anbi1d 469	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
29	28	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
30	19, 24, 29	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
31	30	ex 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
32	3, 6, 31	pm5.21ndd 717	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610  Mndcmnd 13729  SubMndcsubmnd 13765  Grpcgrp 13805  inv_gcminusg 13806  SubGrpcsubg 13970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-submnd 13767  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-subg 13973

This theorem is used by:  subgsubm  13999  0subg  14002  ghmeql  14070