Theorem issubg3 13262

Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg3	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
2	1	subg0cl 13252	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
4	1	subm0cl 13050	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
7		elex2 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆)
8		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
9	7, 8	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
11		r19.26 2620	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
13	10, 12	3anbi23d 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
14		anass 401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
15		df-3an 982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
16	15	anbi1i 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
17		df-3an 982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
18	14, 16, 17	3bitr4ri 213	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
19	13, 18	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
20		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
22		issubg3.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	20, 21, 22	issubg2m 13259	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
25		grpmnd 13079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
26	20, 1, 21	issubm 13044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
28	27	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
29	28	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
30	19, 24, 29	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))
31	30	ex 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))))
32	3, 6, 31	pm5.21ndd 706	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  Mndcmnd 12997  SubMndcsubmnd 13030  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  SubGrpcsubg 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-submnd 13032  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240

This theorem is referenced by:  subgsubm  13266  0subg  13269  ghmeql  13337