Theorem grplid 13733

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13709	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 13637	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  Mndcmnd 13618  Grpcgrp 13702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705

This theorem is referenced by:  grplidd  13735  grprcan  13739  grpid  13741  isgrpid2  13742  grprinv  13753  grpinvid1  13754  grpinvid2  13755  grpidinv2  13760  grpinvid  13762  grpressid  13763  grplcan  13764  grpasscan1  13765  grpidlcan  13768  grplmulf1o  13776  grpidssd  13778  grpinvadd  13780  grpinvval2  13785  grplactcnv  13804  imasgrp  13817  mulgaddcom  13852  mulgdirlem  13859  subg0  13886  issubg2m  13895  issubg4m  13899  isnsg3  13913  nmzsubg  13916  ssnmz  13917  eqger  13930  eqgid  13932  qusgrp  13938  qus0  13941  ghmid  13955  conjghm  13982  abladdsub4  14020  ablpncan2  14022  ablpnpcan  14026  ablnncan  14027  rnglz  14078  rngrz  14079  ringlz  14176  ringrz  14177  lmod0vlid  14453  lmod0vs  14456  psr0lid  14824