Theorem grplid 13235

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13211	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 13139	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  0_gc0g 12960  Mndcmnd 13120  Grpcgrp 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207

This theorem is referenced by:  grplidd  13237  grprcan  13241  grpid  13243  isgrpid2  13244  grprinv  13255  grpinvid1  13256  grpinvid2  13257  grpidinv2  13262  grpinvid  13264  grpressid  13265  grplcan  13266  grpasscan1  13267  grpidlcan  13270  grplmulf1o  13278  grpidssd  13280  grpinvadd  13282  grpinvval2  13287  grplactcnv  13306  imasgrp  13319  mulgaddcom  13354  mulgdirlem  13361  subg0  13388  issubg2m  13397  issubg4m  13401  isnsg3  13415  nmzsubg  13418  ssnmz  13419  eqger  13432  eqgid  13434  qusgrp  13440  qus0  13443  ghmid  13457  conjghm  13484  abladdsub4  13522  ablpncan2  13524  ablpnpcan  13528  ablnncan  13529  rnglz  13579  rngrz  13580  ringlz  13677  ringrz  13678  lmod0vlid  13952  lmod0vs  13955  psr0lid  14312