Theorem grplid 13637

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13613	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 13541	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  0_gc0g 13362  Mndcmnd 13522  Grpcgrp 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609

This theorem is referenced by:  grplidd  13639  grprcan  13643  grpid  13645  isgrpid2  13646  grprinv  13657  grpinvid1  13658  grpinvid2  13659  grpidinv2  13664  grpinvid  13666  grpressid  13667  grplcan  13668  grpasscan1  13669  grpidlcan  13672  grplmulf1o  13680  grpidssd  13682  grpinvadd  13684  grpinvval2  13689  grplactcnv  13708  imasgrp  13721  mulgaddcom  13756  mulgdirlem  13763  subg0  13790  issubg2m  13799  issubg4m  13803  isnsg3  13817  nmzsubg  13820  ssnmz  13821  eqger  13834  eqgid  13836  qusgrp  13842  qus0  13845  ghmid  13859  conjghm  13886  abladdsub4  13924  ablpncan2  13926  ablpnpcan  13930  ablnncan  13931  rnglz  13982  rngrz  13983  ringlz  14080  ringrz  14081  lmod0vlid  14356  lmod0vs  14359  psr0lid  14725