Theorem mulgneg2 12867

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgneg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg2.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 8116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2		neg0 8169	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
3	1, 2	eqtrdi 2220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
4	3	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5		oveq1 5864	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋))))
7		negeq 8116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
8	7	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9		oveq1 5864	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
10	8, 9	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
11		negeq 8116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
12	11	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13		oveq1 5864	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
15		negeq 8116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
16	15	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17		oveq1 5864	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))
18	16, 17	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
19		negeq 8116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
20	19	oveq1d 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21		oveq1 5864	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
22	20, 21	eqeq12d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
23		mulgneg2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
24		eqid 2171	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
25		mulgneg2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulg0 12839	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28		mulgneg2.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
29	23, 28	grpinvcl 12773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
30	23, 24, 25	mulg0 12839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
32	27, 31	eqtr4d 2207	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
33		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
34		nn0cn 9149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 7871	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		negdi 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
38	35, 36, 37	sylancl 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
39	38	oveq1d 5872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40		simpll 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41		nn0negz 9250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
42	41	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43		1z 9242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		znegcl 9247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
45	43, 44	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46		simplr 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		eqid 2171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	23, 25, 47	mulgdir 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
49	40, 42, 45, 46, 48	syl13anc 1236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)))
50	23, 25, 28	mulgm1 12854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
51	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼‘𝑋))
52	51	oveq2d 5873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
54		grpmnd 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
55	54	ad2antrr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
57	29	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 25, 47	mulgnn0p1 12845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
60	53, 59	eqeq12d 2186	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋))))
61	33, 60	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋))))
62	61	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼‘𝑋)))))
63		fveq2 5499	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
64		simpll 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65		nnnegz 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
66	65	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67		simplr 526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	23, 25, 28	mulgneg 12852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
71	23, 25, 28	mulgnegnn 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
72	70, 29, 71	syl2anr 288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
73	69, 72	eqeq12d 2186	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
74	63, 73	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋))))
75	74	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼‘𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼‘𝑋)))))
76	6, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75	zindd 9334	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
77	76	3impia 1196	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
78	77	3com23 1205	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 974   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  ℂcc 7776  0cc0 7778  1c1 7779   + caddc 7781  -cneg 8095  ℕcn 8882  ℕ₀cn0 9139  ℤcz 9216  Basecbs 12420  +_gcplusg 12484  0_gc0g 12618  Mndcmnd 12674  Grpcgrp 12730  inv_gcminusg 12731  ._gcmg 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-2 8941  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-fz 9970  df-seqfrec 10406  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-grp 12733  df-minusg 12734  df-mulg 12835

This theorem is referenced by:  mulgass  12870