Theorem 0subg 13329

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13139	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subm 13116	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	2, 5	grpinvid 13192	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
7		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	7, 2	grpidcl 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	7, 5	grpinvcl 13180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
10	8, 9	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
11		elsng 3637	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺) → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
14		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
15	14	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
16	15	ralsng 3662	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
17	8, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
18	13, 17	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })
19	5	issubg3 13322	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })))
20	4, 18, 19	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {csn 3622  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  0_gc0g 12927  Mndcmnd 13057  SubMndcsubmnd 13090  Grpcgrp 13132  inv_gcminusg 13133  SubGrpcsubg 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-submnd 13092  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300

This theorem is referenced by:  0nsg  13344