Theorem 0subg 13785

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13589	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subm 13566	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	2, 5	grpinvid 13642	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
7		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	7, 2	grpidcl 13611	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	7, 5	grpinvcl 13630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
10	8, 9	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
11		elsng 3684	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺) → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
14		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
15	14	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
16	15	ralsng 3709	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
17	8, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
18	13, 17	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })
19	5	issubg3 13778	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })))
20	4, 18, 19	mpbir2and 952	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {csn 3669  ‘cfv 5326  Basecbs 13081  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498  SubMndcsubmnd 13540  Grpcgrp 13582  inv_gcminusg 13583  SubGrpcsubg 13753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-submnd 13542  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756

This theorem is referenced by:  0nsg  13800