Theorem 0subg 13849

Description: The zero subgroup of an arbitrary group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 31-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0subg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13653	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		0subg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subm 13630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	2, 5	grpinvid 13706	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
7		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8	7, 2	grpidcl 13675	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
9	7, 5	grpinvcl 13694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
10	8, 9	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
11		elsng 3688	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝐺) → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 ))
13	6, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 })
14		fveq2 5648	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((invg‘𝐺)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
15	14	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
16	15	ralsng 3713	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
17	8, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 } ↔ ((invg‘𝐺)‘ 0 ) ∈ { 0 }))
18	13, 17	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })
19	5	issubg3 13842	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 } ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ { 0 })))
20	4, 18, 19	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  {csn 3673  ‘cfv 5333  Basecbs 13145  0_gc0g 13402  Mndcmnd 13562  SubMndcsubmnd 13604  Grpcgrp 13646  inv_gcminusg 13647  SubGrpcsubg 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-submnd 13606  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-subg 13820

This theorem is referenced by:  0nsg  13864