Theorem grpidcl 13614

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13592	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13515	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13084  0_gc0g 13341  Mndcmnd 13501  Grpcgrp 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588

This theorem is referenced by:  grpbn0  13615  grprcan  13622  grpid  13624  isgrpid2  13625  grprinv  13636  grpidinv  13644  grpinvid  13645  grpressid  13646  grpidrcan  13650  grpidlcan  13651  grpidssd  13661  grpinvval2  13668  grpsubid1  13670  dfgrp3m  13684  grpsubpropd2  13690  imasgrp  13700  mulgcl  13728  mulgz  13739  subg0  13769  subg0cl  13771  issubg2m  13778  issubg4m  13782  grpissubg  13783  subgintm  13787  0subg  13788  nmzsubg  13799  0nsg  13803  triv1nsgd  13807  eqgid  13815  eqg0el  13818  qusgrp  13821  qus0  13824  ghmid  13838  ghmrn  13846  ghmpreima  13855  f1ghm0to0  13861  kerf1ghm  13863  rng0cl  13959  rnglz  13961  rngrz  13962  ring0cl  14037  ringlz  14059  ringrz  14060  lmod0vcl  14334  lmodfopnelem1  14341  rmodislmodlem  14367  rmodislmod  14368  islss3  14396  psr0cl  14698  psr0lid  14699  mplsubgfilemm  14715