Theorem grpidcl 13731

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13709	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13632	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  Basecbs 13201  0_gc0g 13458  Mndcmnd 13618  Grpcgrp 13702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705

This theorem is referenced by:  grpbn0  13732  grprcan  13739  grpid  13741  isgrpid2  13742  grprinv  13753  grpidinv  13761  grpinvid  13762  grpressid  13763  grpidrcan  13767  grpidlcan  13768  grpidssd  13778  grpinvval2  13785  grpsubid1  13787  dfgrp3m  13801  grpsubpropd2  13807  imasgrp  13817  mulgcl  13845  mulgz  13856  subg0  13886  subg0cl  13888  issubg2m  13895  issubg4m  13899  grpissubg  13900  subgintm  13904  0subg  13905  nmzsubg  13916  0nsg  13920  triv1nsgd  13924  eqgid  13932  eqg0el  13935  qusgrp  13938  qus0  13941  ghmid  13955  ghmrn  13963  ghmpreima  13972  f1ghm0to0  13978  kerf1ghm  13980  rng0cl  14076  rnglz  14078  rngrz  14079  ring0cl  14154  ringlz  14176  ringrz  14177  lmod0vcl  14452  lmodfopnelem1  14459  rmodislmodlem  14485  rmodislmod  14486  islss3  14514  psr0cl  14823  psr0lid  14824  mplsubgfilemm  14840