Theorem grpidcl 13635

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13613	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13536	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  Basecbs 13105  0_gc0g 13362  Mndcmnd 13522  Grpcgrp 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609

This theorem is referenced by:  grpbn0  13636  grprcan  13643  grpid  13645  isgrpid2  13646  grprinv  13657  grpidinv  13665  grpinvid  13666  grpressid  13667  grpidrcan  13671  grpidlcan  13672  grpidssd  13682  grpinvval2  13689  grpsubid1  13691  dfgrp3m  13705  grpsubpropd2  13711  imasgrp  13721  mulgcl  13749  mulgz  13760  subg0  13790  subg0cl  13792  issubg2m  13799  issubg4m  13803  grpissubg  13804  subgintm  13808  0subg  13809  nmzsubg  13820  0nsg  13824  triv1nsgd  13828  eqgid  13836  eqg0el  13839  qusgrp  13842  qus0  13845  ghmid  13859  ghmrn  13867  ghmpreima  13876  f1ghm0to0  13882  kerf1ghm  13884  rng0cl  13980  rnglz  13982  rngrz  13983  ring0cl  14058  ringlz  14080  ringrz  14081  lmod0vcl  14355  lmodfopnelem1  14362  rmodislmodlem  14388  rmodislmod  14389  islss3  14417  psr0cl  14724  psr0lid  14725  mplsubgfilemm  14741