Theorem grpidcl 13562

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13540	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13463	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  Basecbs 13032  0_gc0g 13289  Mndcmnd 13449  Grpcgrp 13533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536

This theorem is referenced by:  grpbn0  13563  grprcan  13570  grpid  13572  isgrpid2  13573  grprinv  13584  grpidinv  13592  grpinvid  13593  grpressid  13594  grpidrcan  13598  grpidlcan  13599  grpidssd  13609  grpinvval2  13616  grpsubid1  13618  dfgrp3m  13632  grpsubpropd2  13638  imasgrp  13648  mulgcl  13676  mulgz  13687  subg0  13717  subg0cl  13719  issubg2m  13726  issubg4m  13730  grpissubg  13731  subgintm  13735  0subg  13736  nmzsubg  13747  0nsg  13751  triv1nsgd  13755  eqgid  13763  eqg0el  13766  qusgrp  13769  qus0  13772  ghmid  13786  ghmrn  13794  ghmpreima  13803  f1ghm0to0  13809  kerf1ghm  13811  rng0cl  13906  rnglz  13908  rngrz  13909  ring0cl  13984  ringlz  14006  ringrz  14007  lmod0vcl  14281  lmodfopnelem1  14288  rmodislmodlem  14314  rmodislmod  14315  islss3  14343  psr0cl  14645  psr0lid  14646  mplsubgfilemm  14662