Theorem grpidcl 13763

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13741	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13664	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  Basecbs 13233  0_gc0g 13490  Mndcmnd 13650  Grpcgrp 13734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737

This theorem is referenced by:  grpbn0  13764  grprcan  13771  grpid  13773  isgrpid2  13774  grprinv  13785  grpidinv  13793  grpinvid  13794  grpressid  13795  grpidrcan  13799  grpidlcan  13800  grpidssd  13810  grpinvval2  13817  grpsubid1  13819  dfgrp3m  13833  grpsubpropd2  13839  imasgrp  13849  mulgcl  13877  mulgz  13888  subg0  13918  subg0cl  13920  issubg2m  13927  issubg4m  13931  grpissubg  13932  subgintm  13936  0subg  13937  nmzsubg  13948  0nsg  13952  triv1nsgd  13956  eqgid  13964  eqg0el  13967  qusgrp  13970  qus0  13973  ghmid  13987  ghmrn  13995  ghmpreima  14004  f1ghm0to0  14010  kerf1ghm  14012  rng0cl  14108  rnglz  14110  rngrz  14111  ring0cl  14186  ringlz  14208  ringrz  14209  aprlring  14460  lmod0vcl  14514  lmodfopnelem1  14521  rmodislmodlem  14547  rmodislmod  14548  islss3  14576  psr0cl  14885  psr0lid  14886  mplsubgfilemm  14902