Theorem grpidcl 13787

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13765	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13694	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  Basecbs 13299  0_gc0g 13556  Mndcmnd 13680  Grpcgrp 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761

This theorem is referenced by:  grpbn0  13788  grprcan  13795  grpid  13797  isgrpid2  13798  grprinv  13809  grpidinv  13817  grpinvid  13818  grpressid  13819  grpidrcan  13823  grpidlcan  13824  grpidssd  13834  grpinvval2  13841  grpsubid1  13843  dfgrp3m  13857  grpsubpropd2  13863  imasgrp  13867  mulgcl  13895  mulgz  13906  subg0  13936  subg0cl  13938  issubg2m  13945  issubg4m  13949  grpissubg  13950  subgintm  13954  0subg  13955  nmzsubg  13966  0nsg  13970  triv1nsgd  13974  eqgid  13982  eqg0el  13985  qusgrp  13988  qus0  13991  ghmid  14005  ghmrn  14013  ghmpreima  14022  f1ghm0to0  14028  kerf1ghm  14030  rng0cl  14185  rnglz  14187  rngrz  14188  ring0cl  14267  ringlz  14289  ringrz  14290  aprlring  14541  lmod0vcl  14594  lmodfopnelem1  14601  rmodislmodlem  14627  rmodislmod  14628  islss3  14656  psr0cl  14965  psr0lid  14966  mplsubgfilemm  14982