Theorem grpidcl 13817

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13795	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13726	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  Basecbs 13335  0_gc0g 13593  Mndcmnd 13712  Grpcgrp 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791

This theorem is referenced by:  grpbn0  13818  grprcan  13825  grpid  13827  isgrpid2  13828  grprinv  13839  grpidinv  13847  grpinvid  13848  grpressid  13849  grpidrcan  13853  grpidlcan  13854  grpidssd  13864  grpinvval2  13871  grpsubid1  13873  dfgrp3m  13887  grpsubpropd2  13893  imasgrp  13897  mulgcl  13925  mulgz  13936  subg0  13966  subg0cl  13968  issubg2m  13975  issubg4m  13979  grpissubg  13980  subgintm  13984  0subg  13985  nmzsubg  13996  0nsg  14000  triv1nsgd  14004  eqgid  14012  eqg0el  14015  qusgrp  14018  qus0  14021  ghmid  14035  ghmrn  14043  ghmpreima  14052  f1ghm0to0  14058  kerf1ghm  14060  rng0cl  14225  rnglz  14227  rngrz  14228  ring0cl  14309  ringlz  14331  ringrz  14332  aprlring  14583  lmod0vcl  14637  lmodfopnelem1  14644  rmodislmodlem  14670  rmodislmod  14671  islss3  14699  ascl0  15010  psr0cl  15055  psr0lid  15056  mplsubgfilemm  15072