Theorem grpidcl 13605

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13583	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13506	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  Basecbs 13075  0_gc0g 13332  Mndcmnd 13492  Grpcgrp 13576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9137  df-2 9195  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579

This theorem is referenced by:  grpbn0  13606  grprcan  13613  grpid  13615  isgrpid2  13616  grprinv  13627  grpidinv  13635  grpinvid  13636  grpressid  13637  grpidrcan  13641  grpidlcan  13642  grpidssd  13652  grpinvval2  13659  grpsubid1  13661  dfgrp3m  13675  grpsubpropd2  13681  imasgrp  13691  mulgcl  13719  mulgz  13730  subg0  13760  subg0cl  13762  issubg2m  13769  issubg4m  13773  grpissubg  13774  subgintm  13778  0subg  13779  nmzsubg  13790  0nsg  13794  triv1nsgd  13798  eqgid  13806  eqg0el  13809  qusgrp  13812  qus0  13815  ghmid  13829  ghmrn  13837  ghmpreima  13846  f1ghm0to0  13852  kerf1ghm  13854  rng0cl  13949  rnglz  13951  rngrz  13952  ring0cl  14027  ringlz  14049  ringrz  14050  lmod0vcl  14324  lmodfopnelem1  14331  rmodislmodlem  14357  rmodislmod  14358  islss3  14386  psr0cl  14688  psr0lid  14689  mplsubgfilemm  14705