Theorem grpidcl 13894

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 13803	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  Basecbs 13411  0_gc0g 13670  Mndcmnd 13789  Grpcgrp 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9315  df-2 9373  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868

This theorem is used by:  grpbn0  13895  grprcan  13902  grpid  13904  isgrpid2  13905  grprinv  13916  grpidinv  13924  grpinvid  13925  grpressid  13926  grpidrcan  13930  grpidlcan  13931  grpidssd  13941  grpinvval2  13948  grpsubid1  13950  dfgrp3m  13964  grpsubpropd2  13970  imasgrp  13974  mulgcl  14002  mulgz  14013  subg0  14043  subg0cl  14045  issubg2m  14052  issubg4m  14056  grpissubg  14057  subgintm  14061  0subg  14062  nmzsubg  14073  0nsg  14077  triv1nsgd  14081  eqgid  14089  eqg0el  14092  qusgrp  14095  qus0  14098  ghmid  14112  ghmrn  14120  ghmpreima  14129  f1ghm0to0  14135  kerf1ghm  14137  rng0cl  14350  rnglz  14352  rngrz  14353  ring0cl  14434  ringlz  14456  ringrz  14457  aprlring  14710  lmod0vcl  14764  lmodfopnelem1  14771  rmodislmodlem  14797  rmodislmod  14798  islss3  14826  ascl0  15137  psr0cl  15196  psr0lid  15197  mplsubgfilemm  15226