ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpidcl GIF version

Theorem grpidcl 12794
Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpidcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpidcl (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)

Proof of Theorem grpidcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 12774 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpidcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpidcl.o . . 3 0 = (0g𝐺)
42, 3mndidcl 12723 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
51, 4syl 14 1 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  Basecbs 12445  0gc0g 12653  Mndcmnd 12709  Grpcgrp 12767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-grp 12770
This theorem is referenced by:  grpbn0  12795  grprcan  12800  grpid  12802  isgrpid2  12803  grprinv  12813  grpidinv  12819  grpinvid  12820  grpidrcan  12824  grpidlcan  12825  grpidssd  12835  grpinvval2  12842  grpsubid1  12844  dfgrp3m  12858  grpsubpropd2  12864  mulgcl  12889  mulgz  12899  ring0cl  13030  ringlz  13048  ringrz  13049
  Copyright terms: Public domain W3C validator