Theorem mulgz 13404

Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13257	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgnn0z.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0z.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13403	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		nn0z 9374	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 5	grpidcl 13279	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐵)
13		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	3, 4, 13	mulgneg 13394	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16		zcn 9359	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	negnegd 8356	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	oveq1d 5949	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
20	3, 4, 5	mulgnn0z 13403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
21	2, 20	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
22	21	fveq2d 5574	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
23	5, 13	grpinvid 13310	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
24	23	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtrd 2237	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2245	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		elznn0 9369	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
28	27	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
29	28	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
30	7, 26, 29	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  -cneg 8226  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  Basecbs 12751  0_gc0g 13006  Mndcmnd 13166  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  ._gcmg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-mulg 13374

This theorem is referenced by:  mulgmodid  13415