![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgz | GIF version |
Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnn0z.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnn0z.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnn0z.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgz | โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | grpmnd 12891 | . . . 4 โข (๐บ โ Grp โ ๐บ โ Mnd) | |
2 | 1 | adantr 276 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โ ๐บ โ Mnd) |
3 | mulgnn0z.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
4 | mulgnn0z.t | . . . 4 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
5 | mulgnn0z.o | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
6 | 3, 4, 5 | mulgnn0z 13020 | . . 3 โข ((๐บ โ Mnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
7 | 2, 6 | sylan 283 | . 2 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
8 | simpll 527 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ ๐บ โ Grp) | |
9 | nn0z 9276 | . . . . 5 โข (-๐ โ โ0 โ -๐ โ โค) | |
10 | 9 | adantl 277 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ -๐ โ โค) |
11 | 3, 5 | grpidcl 12911 | . . . . 5 โข (๐บ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
12 | 11 | ad2antrr 488 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ 0 โ ๐ต) |
13 | eqid 2177 | . . . . 5 โข (invgโ๐บ) = (invgโ๐บ) | |
14 | 3, 4, 13 | mulgneg 13011 | . . . 4 โข ((๐บ โ Grp โง -๐ โ โค โง 0 โ ๐ต) โ (--๐ ยท 0 ) = ((invgโ๐บ)โ(-๐ ยท 0 ))) |
15 | 8, 10, 12, 14 | syl3anc 1238 | . . 3 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ (--๐ ยท 0 ) = ((invgโ๐บ)โ(-๐ ยท 0 ))) |
16 | zcn 9261 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
17 | 16 | ad2antlr 489 | . . . . 5 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ ๐ โ โ) |
18 | 17 | negnegd 8262 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ --๐ = ๐) |
19 | 18 | oveq1d 5893 | . . 3 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ (--๐ ยท 0 ) = (๐ ยท 0 )) |
20 | 3, 4, 5 | mulgnn0z 13020 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Mnd โง -๐ โ โ0) โ (-๐ ยท 0 ) = 0 ) |
21 | 2, 20 | sylan 283 | . . . . 5 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ (-๐ ยท 0 ) = 0 ) |
22 | 21 | fveq2d 5521 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ ((invgโ๐บ)โ(-๐ ยท 0 )) = ((invgโ๐บ)โ 0 )) |
23 | 5, 13 | grpinvid 12937 | . . . . 5 โข (๐บ โ Grp โ ((invgโ๐บ)โ 0 ) = 0 ) |
24 | 23 | ad2antrr 488 | . . . 4 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ ((invgโ๐บ)โ 0 ) = 0 ) |
25 | 22, 24 | eqtrd 2210 | . . 3 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ ((invgโ๐บ)โ(-๐ ยท 0 )) = 0 ) |
26 | 15, 19, 25 | 3eqtr3d 2218 | . 2 โข (((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โง -๐ โ โ0) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
27 | elznn0 9271 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (๐ โ โ โง (๐ โ โ0 โจ -๐ โ โ0))) | |
28 | 27 | simprbi 275 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (๐ โ โ0 โจ -๐ โ โ0)) |
29 | 28 | adantl 277 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โ (๐ โ โ0 โจ -๐ โ โ0)) |
30 | 7, 26, 29 | mpjaodan 798 | 1 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โจ wo 708 = wceq 1353 โ wcel 2148 โcfv 5218 (class class class)co 5878 โcc 7812 โcr 7813 -cneg 8132 โ0cn0 9179 โคcz 9256 Basecbs 12465 0gc0g 12711 Mndcmnd 12824 Grpcgrp 12884 invgcminusg 12885 .gcmg 12992 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-addcom 7914 ax-addass 7916 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-ltadd 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-frec 6395 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-inn 8923 df-2 8981 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-fz 10012 df-fzo 10146 df-seqfrec 10449 df-ndx 12468 df-slot 12469 df-base 12471 df-plusg 12552 df-0g 12713 df-mgm 12782 df-sgrp 12815 df-mnd 12825 df-grp 12887 df-minusg 12888 df-mulg 12993 |
This theorem is referenced by: mulgmodid 13032 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |