ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgz GIF version

Theorem mulgz 13004
Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz
StepHypRef Expression
1 grpmnd 12878 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21adantr 276 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgnn0z.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0z.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
63, 4, 5mulgnn0z 13003 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
72, 6sylan 283 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8 simpll 527 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9 nn0z 9271 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
109adantl 277 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
113, 5grpidcl 12898 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
1211ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0𝐵)
13 eqid 2177 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
143, 4, 13mulgneg 12995 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
158, 10, 12, 14syl3anc 1238 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16 zcn 9256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1817negnegd 8257 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
1918oveq1d 5889 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
203, 4, 5mulgnn0z 13003 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
212, 20sylan 283 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
2221fveq2d 5519 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg𝐺)‘ 0 ))
235, 13grpinvid 12924 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2423ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2522, 24eqtrd 2210 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
2615, 19, 253eqtr3d 2218 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27 elznn0 9266 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2827simprbi 275 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
2928adantl 277 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
307, 26, 29mpjaodan 798 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  -cneg 8127  0cn0 9174  cz 9251  Basecbs 12456  0gc0g 12699  Mndcmnd 12811  Grpcgrp 12871  invgcminusg 12872  .gcmg 12977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12701  df-mgm 12769  df-sgrp 12802  df-mnd 12812  df-grp 12874  df-minusg 12875  df-mulg 12978
This theorem is referenced by:  mulgmodid  13015
  Copyright terms: Public domain W3C validator