Theorem mulgz 13727

Description: A group multiple of the identity, for integer multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13580	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgnn0z.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		mulgnn0z.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	3, 4, 5	mulgnn0z 13726	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 283	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
8		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		nn0z 9489	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 5	grpidcl 13602	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐵)
13		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	3, 4, 13	mulgneg 13717	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
15	8, 10, 12, 14	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )))
16		zcn 9474	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	negnegd 8471	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
19	18	oveq1d 6028	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑁 · 0 ) = (𝑁 · 0 ))
20	3, 4, 5	mulgnn0z 13726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
21	2, 20	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 0 ) = 0 )
22	21	fveq2d 5639	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = ((invg‘𝐺)‘ 0 ))
23	5, 13	grpinvid 13633	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
24	23	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	22, 24	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 0 )) = 0 )
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2270	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		elznn0 9484	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
28	27	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
29	28	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
30	7, 26, 29	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  -cneg 8341  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  Basecbs 13072  0_gc0g 13329  Mndcmnd 13489  Grpcgrp 13573  inv_gcminusg 13574  ._gcmg 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-mulg 13697

This theorem is referenced by:  mulgmodid  13738