Theorem mulgaddcom 13216

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
3	1	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
7	5	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
8	6, 7	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
11	9	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
15	13	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
16	14, 15	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
19	17	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
20	18, 19	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	21, 22, 23	grplid 13103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	21, 23, 25	mulg0 13195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
29	27	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
30	21, 22, 23	grprid 13104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
31	29, 30	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2236	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33		nn0z 9337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
34		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35		simp2 1000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	21, 25	mulgcl 13209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	36	3com23 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	21, 22	grpass 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
40	33, 39	syl3an3 1284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42		grpmnd 13079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
43	42	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
44		simp3 1001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
45		simp2 1000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
48	47	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
50	49	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
51	47	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
54	53	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
55	54	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
56		nnz 9336	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
58	57	3exp1 1225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
59	58	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
60	59	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9435	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
63	62	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
64	63	com23 78	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
65	64	3imp 1195	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  Mndcmnd 12997  Grpcgrp 13072  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13217