Theorem mulgaddcom 13732

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
3	1	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
7	5	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
8	6, 7	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
11	9	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
15	13	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17		oveq1 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
19	17	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
20	18, 19	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	21, 22, 23	grplid 13613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	21, 23, 25	mulg0 13711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
29	27	oveq2d 6033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
30	21, 22, 23	grprid 13614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
31	29, 30	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33		nn0z 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
34		simp1 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35		simp2 1024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	21, 25	mulgcl 13725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	36	3com23 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	21, 22	grpass 13591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
40	33, 39	syl3an3 1308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42		grpmnd 13589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
43	42	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
44		simp3 1025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
45		simp2 1024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
48	47	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
50	49	oveq1d 6032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
51	47	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
54	53	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
55	54	3expia 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
56		nnz 9497	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
58	57	3exp1 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
59	58	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
60	59	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
63	62	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
64	63	com23 78	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
65	64	3imp 1219	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034  -cneg 8350  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498  Grpcgrp 13582  ._gcmg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mulg 13706

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13733