Theorem mulgaddcom 12960

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
3	1	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
7	5	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
8	6, 7	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
11	9	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
15	13	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
16	14, 15	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
19	17	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
20	18, 19	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	21, 22, 23	grplid 12860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	21, 23, 25	mulg0 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
29	27	oveq2d 5890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
30	21, 22, 23	grprid 12861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
31	29, 30	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2220	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33		nn0z 9271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
34		simp1 997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35		simp2 998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	21, 25	mulgcl 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	36	3com23 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	21, 22	grpass 12840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
40	33, 39	syl3an3 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42		grpmnd 12838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
43	42	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
44		simp3 999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
45		simp2 998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 12948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
48	47	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
50	49	oveq1d 5889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
51	47	oveq2d 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
54	53	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
55	54	3expia 1205	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
56		nnz 9270	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
58	57	3exp1 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
59	58	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
60	59	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
63	62	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
64	63	com23 78	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
65	64	3imp 1193	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  -cneg 8127  ℕcn 8917  ℕ₀cn0 9174  ℤcz 9251  Basecbs 12456  +_gcplusg 12530  0_gc0g 12695  Mndcmnd 12771  Grpcgrp 12831  ._gcmg 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-mulg 12938

This theorem is referenced by:  mulginvcom  12961