ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgaddcom GIF version

Theorem mulgaddcom 13012
Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgaddcom.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgaddcom.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcom ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgaddcom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
31oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + (0 ยท ๐‘‹)))
42, 3eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (0 ยท ๐‘‹))))
5 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
65oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
75oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
86, 7eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
9 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
109oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
119oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹)))
1210, 11eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))))
13 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
1413oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
1513oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
1614, 15eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โ†” ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
17 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1817oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
1917oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
2018, 19eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
21 mulgaddcom.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
22 mulgaddcom.p . . . . . . 7 + = (+gโ€˜๐บ)
23 eqid 2177 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
2421, 22, 23grplid 12911 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹) = ๐‘‹)
25 mulgaddcom.t . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2621, 23, 25mulg0 12993 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2726adantl 277 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2827oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐บ) + ๐‘‹))
2927oveq2d 5893 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (0 ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + (0gโ€˜๐บ)))
3021, 22, 23grprid 12912 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (0gโ€˜๐บ)) = ๐‘‹)
3129, 30eqtrd 2210 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + (0 ยท ๐‘‹)) = ๐‘‹)
3224, 28, 313eqtr4d 2220 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (0 ยท ๐‘‹)))
33 nn0z 9275 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
34 simp1 997 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
35 simp2 998 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3621, 25mulgcl 13005 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
37363com23 1209 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3821, 22grpass 12891 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
3934, 35, 37, 35, 38syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
4033, 39syl3an3 1273 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
4140adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
42 grpmnd 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
43423ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
44 simp3 999 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
45 simp2 998 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4621, 25, 22mulgnn0p1 12999 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹))
4847eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))
4948biimpar 297 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
5049oveq1d 5892 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = ((๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) + ๐‘‹))
5147oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
5251adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹)))
5341, 50, 523eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹)))
5453ex 115 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))))
55543expia 1205 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹)))))
56 nnz 9274 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
5721, 25, 22mulgaddcomlem 13011 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
58573exp1 1223 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))))
5958com23 78 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))))))
6059imp 124 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))))
6156, 60syl5 32 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))))
624, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61zindd 9373 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
6362ex 115 . . 3 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
6463com23 78 . 2 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
65643imp 1193 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) + ๐‘‹) = (๐‘‹ + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  -cneg 8131  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  0gc0g 12710  Mndcmnd 12822  Grpcgrp 12882  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulginvcom  13013
  Copyright terms: Public domain W3C validator