Theorem mulginvcom 12858

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulginvcom.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (0 · (𝐼‘𝑋)))
2		fvoveq1 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
3	1, 2	eqeq12d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
5		fvoveq1 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6	4, 5	eqeq12d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)))
8		fvoveq1 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
11		fvoveq1 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13		oveq1 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑁 · (𝐼‘𝑋)))
14		fvoveq1 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
15	13, 14	eqeq12d 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16		eqid 2171	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
18	16, 17	grpinvid 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	19	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22	21, 17	grpinvcl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
24	21, 16, 23	mulg0 12839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	21, 16, 23	mulg0 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	fveq2d 5503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2214	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30		oveq2 5865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
31	30	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32		grpmnd 12737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33	32	3ad2ant1 1014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34		simp2 994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35	22	3adant2 1012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
36		eqid 2171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 12845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)))
39		simp1 993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40		nn0z 9236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	3ad2ant2 1015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	21, 23, 36	mulgaddcom 12857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋))(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
44	38, 43	eqtrd 2204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 12845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
47	32, 46	syl3an1 1267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
48	47	fveq2d 5503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)))
49	21, 23	mulgcl 12851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	40, 49	syl3an2 1268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51	21, 36, 17	grpinvadd 12799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
52	50, 51	syld3an2 1281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
53	48, 52	eqtrd 2204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
54	53	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56	55	3exp1 1219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
57	56	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
58	57	imp 123	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59		nnz 9235	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60	22	3adant2 1012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
61	21, 23, 17	mulgneg 12852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
62	60, 61	syld3an3 1279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
63	62	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
64	21, 23, 17	mulgneg 12852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
67	65, 66	eqtr4d 2207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼‘𝑋)))
68	67	fveq2d 5503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼‘𝑋))))
69	63, 68	eqtr4d 2207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70	69	3exp1 1219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
71	70	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
72	71	imp 123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
73	59, 72	syl5 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 9334	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
75	74	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
76	75	com23 78	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77	76	3imp 1189	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 974   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  0cc0 7778  1c1 7779   + caddc 7781  -cneg 8095  ℕcn 8882  ℕ₀cn0 9139  ℤcz 9216  Basecbs 12420  +_gcplusg 12484  0_gc0g 12618  Mndcmnd 12674  Grpcgrp 12730  inv_gcminusg 12731  ._gcmg 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-2 8941  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-seqfrec 10406  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-grp 12733  df-minusg 12734  df-mulg 12835

This theorem is referenced by:  mulginvinv  12859