Theorem idjusnfi 14270

Description: The image of a singleton through an indexed disjoint union, where it is of finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
idjusnfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
idjusnfi.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
idjusnfi.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idjusnfi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝐴) → (𝑈 “ {𝐾}) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐾   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑈(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem idjusnfi

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idjusnfi.r	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
2	1	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ Fin)
3		nfcsb1v 3180	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶
4	3	nfel1 2403	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin
5		csbeq1a 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → 𝐶 = ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶)
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐶 ∈ Fin ↔ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin))
7	4, 6	rspc 2923	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ Fin → ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin))
8	2, 7	mpan9 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝐴) → ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin)
9		elimasng 5158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ V) → (𝑞 ∈ (𝑈 “ {𝐾}) ↔ ⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ 𝑈))
10	9	elvd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ (𝑈 “ {𝐾}) ↔ ⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ 𝑈))
11		idjusnfi.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
12	11	eleq2i 2305	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ 𝑈 ↔ ⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
13	3, 5	opeliunxp2f 6513	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶))
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐾, 𝑞⟩ ∈ 𝑈 ↔ (𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶))
15	10, 14	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ (𝑈 “ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶)))
16	15	bianabs 619	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑞 ∈ (𝑈 “ {𝐾}) ↔ 𝑞 ∈ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶))
17	16	eqrdv 2236	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑈 “ {𝐾}) = ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶)
18	17	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ((𝑈 “ {𝐾}) ∈ Fin ↔ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin))
19	18	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝐴) → ((𝑈 “ {𝐾}) ∈ Fin ↔ ⦋𝐾 / 𝑗⦌𝐶 ∈ Fin))
20	8, 19	mpbird 167	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝐴) → (𝑈 “ {𝐾}) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ⦋csb 3147  {csn 3709  ⟨cop 3712  ∪ ciun 4012   × cxp 4774   “ cima 4779  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789

This theorem is used by:  gsum2d2fi  14274