Theorem csbeq1a 3156

Description: Equality theorem for proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbeq1a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

Proof of Theorem csbeq1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbid 3155	. 2 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
2		csbeq1 3150	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	1, 2	eqtr3id 2285	1 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⦋csb 3147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-sbc 3052  df-csb 3148

This theorem is used by:  csbhypf  3186  csbiebt  3187  sbcnestgf  3199  cbvralcsf  3210  cbvrexcsf  3211  cbvreucsf  3212  cbvrabcsf  3213  rspc2vd  3216  csbing  3438  ifeqeqxdc  3687  disjnims  4121  invdisjrab  4124  disjiun  4125  sbcbrg  4185  moop2  4392  pofun  4457  eusvnf  4599  opeliunxp  4830  elrnmpt1  5033  resmptf  5113  csbima12g  5148  fvmpts  5783  fvmpt2  5789  mptfvex  5791  fmptco  5874  fmptcof  5875  fmptcos  5876  elabrex  5963  elabrexg  5964  fliftfuns  6004  riotaeqimp  6063  csbov123g  6124  ovmpos  6212  fvmpopr2d  6225  csbopeq1a  6422  mpomptsx  6433  dmmpossx  6435  fmpox  6436  mpofvex  6441  fmpoco  6452  disjxp1  6472  eqerlem  6838  qliftfuns  6893  mptelixpg  7016  xpf1o  7144  iunfidisj  7260  cc3  7634  seq3f1olemstep  10951  seq3f1olemp  10952  sumeq2  12125  sumfct  12140  sumrbdclem  12144  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  zsumdc  12151  fsumgcl  12153  fsum3  12154  isumss  12158  isumss2  12160  fsum3cvg2  12161  fsumzcl2  12172  fsumsplitf  12175  sumsnf  12176  sumsns  12182  fsumsplitsnun  12186  fsum2dlemstep  12201  fsumcnv  12204  fisumcom2  12205  fsumshftm  12212  fisum0diag2  12214  fsummulc2  12215  fsum00  12229  fsumabs  12232  fsumrelem  12238  fsumiun  12244  isumshft  12257  mertenslem2  12303  prodeq2  12324  prodrbdclem  12338  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  zproddc  12346  fprodseq  12350  fprodntrivap  12351  prodfct  12354  prodssdc  12356  fprodmul  12358  prodsnf  12359  fprodm1s  12368  fprodp1s  12369  prodsns  12370  fprodcl2lem  12372  fprodcllemf  12380  fprodabs  12383  fprodap0  12388  fprod2dlemstep  12389  fprodcnv  12392  fprodcom2fi  12393  fprodrec  12396  fproddivapf  12398  fprodsplitf  12399  fprodsplit1f  12401  fprodap0f  12403  fprodle  12407  fprodmodd  12408  pcmpt  13122  pcmptdvds  13124  ctiunctlemudc  13328  ctiunctlemf  13329  ctiunctal  13332  gsummptfidmadd  14161  gsumfsum  14923  iuncld  15216  fsumcncntop  15668  limcmpted  15764  dvmptfsum  15826  fsumdvdsmul  16109