Theorem csbeq1a 3103

Description: Equality theorem for proper substitution into a class. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
csbeq1a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

Proof of Theorem csbeq1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbid 3102	. 2 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵
2		csbeq1 3097	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	1, 2	eqtr3id 2253	1 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373  ⦋csb 3094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-sbc 3000  df-csb 3095

This theorem is referenced by:  csbhypf  3133  csbiebt  3134  sbcnestgf  3146  cbvralcsf  3157  cbvrexcsf  3158  cbvreucsf  3159  cbvrabcsf  3160  rspc2vd  3163  csbing  3381  disjnims  4038  invdisjrab  4041  disjiun  4042  sbcbrg  4102  moop2  4300  pofun  4363  eusvnf  4504  opeliunxp  4734  elrnmpt1  4934  resmptf  5014  csbima12g  5048  fvmpts  5664  fvmpt2  5670  mptfvex  5672  fmptco  5753  fmptcof  5754  fmptcos  5755  elabrex  5833  elabrexg  5834  fliftfuns  5874  csbov123g  5990  ovmpos  6076  fvmpopr2d  6089  csbopeq1a  6281  mpomptsx  6290  dmmpossx  6292  fmpox  6293  mpofvex  6298  fmpoco  6309  disjxp1  6329  eqerlem  6658  qliftfuns  6713  mptelixpg  6828  xpf1o  6948  iunfidisj  7055  cc3  7387  seq3f1olemstep  10666  seq3f1olemp  10667  sumeq2  11714  sumfct  11729  sumrbdclem  11732  summodclem3  11735  summodclem2a  11736  zsumdc  11739  fsumgcl  11741  fsum3  11742  isumss  11746  isumss2  11748  fsum3cvg2  11749  fsumzcl2  11760  fsumsplitf  11763  sumsnf  11764  sumsns  11770  fsumsplitsnun  11774  fsum2dlemstep  11789  fsumcnv  11792  fisumcom2  11793  fsumshftm  11800  fisum0diag2  11802  fsummulc2  11803  fsum00  11817  fsumabs  11820  fsumrelem  11826  fsumiun  11832  isumshft  11845  mertenslem2  11891  prodeq2  11912  prodrbdclem  11926  prodmodclem3  11930  prodmodclem2a  11931  zproddc  11934  fprodseq  11938  fprodntrivap  11939  prodfct  11942  prodssdc  11944  fprodmul  11946  prodsnf  11947  fprodm1s  11956  fprodp1s  11957  prodsns  11958  fprodcl2lem  11960  fprodcllemf  11968  fprodabs  11971  fprodap0  11976  fprod2dlemstep  11977  fprodcnv  11980  fprodcom2fi  11981  fprodrec  11984  fproddivapf  11986  fprodsplitf  11987  fprodsplit1f  11989  fprodap0f  11991  fprodle  11995  fprodmodd  11996  pcmpt  12710  pcmptdvds  12712  ctiunctlemudc  12852  ctiunctlemf  12853  ctiunctal  12856  gsumfzfsumlemm  14393  iuncld  14631  fsumcncntop  15083  limcmpted  15179  dvmptfsum  15241  fsumdvdsmul  15507