Theorem idjufi 14269

Description: A finite indexed disjoint union of finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
idjufi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
idjufi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
idjufi	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝜑,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑗)

Proof of Theorem idjufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idjufi.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		snfig 7107	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → {𝑗} ∈ Fin)
3		idjufi.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
4		xpfi 7243	. . . 4 ⊢ (({𝑗} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2an2 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)
6	5	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)
7		disjsnxp 6477	. . 3 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
9		iunfidisj 7264	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin ∧ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {csn 3709  ∪ ciun 4012  Disj wdisj 4106   × cxp 4774  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  gsum2d2fi  14274  gsumcom2fi  14275