Theorem rspc 2859

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2477	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2336	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1539	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1583	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364  Ⅎwnf 1471   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762

This theorem is referenced by:  rspcv  2861  rspc2  2876  rspc2vd  3150  pofun  4344  omsinds  4655  fmptcof  5726  fliftfuns  5842  qliftfuns  6675  xpf1o  6902  finexdc  6960  ssfirab  6992  opabfi  6994  iunfidisj  7007  dcfi  7042  cc3  7330  lble  8968  exfzdc  10310  uzsinds  10518  sumeq2  11505  sumfct  11520  sumrbdclem  11523  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  zsumdc  11530  fsumgcl  11532  fsum3  11533  fsumf1o  11536  isumss  11537  isumss2  11539  fsum3cvg2  11540  fsumadd  11552  isummulc2  11572  fsum2dlemstep  11580  fisumcom2  11584  fsumshftm  11591  fisum0diag2  11593  fsummulc2  11594  fsum00  11608  fsumabs  11611  fsumrelem  11617  fsumiun  11623  isumshft  11636  mertenslem2  11682  prodeq2  11703  prodrbdclem  11717  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  zproddc  11725  fprodseq  11729  prodfct  11733  fprodf1o  11734  prodssdc  11735  fprodmul  11737  fprodm1s  11747  fprodp1s  11748  fprodabs  11762  fprodap0  11767  fprod2dlemstep  11768  fprodcom2fi  11772  fprodrec  11775  fprodap0f  11782  fprodle  11786  zsupcllemstep  12085  infssuzex  12089  bezoutlemmain  12138  nnwosdc  12179  pcmpt  12484  ctiunctlemudc  12597  gsumfzfsumlemm  14086  iuncld  14294  txcnp  14450  fsumcncntop  14746  bj-nntrans  15513