Theorem rspc 2862

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2339	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1542	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1586	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364  Ⅎwnf 1474   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765

This theorem is referenced by:  rspcv  2864  rspc2  2879  rspc2vd  3153  pofun  4348  omsinds  4659  fmptcof  5732  fliftfuns  5848  qliftfuns  6687  xpf1o  6914  finexdc  6972  ssfirab  7006  opabfi  7008  iunfidisj  7021  dcfi  7056  cc3  7353  lble  8993  exfzdc  10335  zsupcllemstep  10338  infssuzex  10342  uzsinds  10555  sumeq2  11543  sumfct  11558  sumrbdclem  11561  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  zsumdc  11568  fsumgcl  11570  fsum3  11571  fsumf1o  11574  isumss  11575  isumss2  11577  fsum3cvg2  11578  fsumadd  11590  isummulc2  11610  fsum2dlemstep  11618  fisumcom2  11622  fsumshftm  11629  fisum0diag2  11631  fsummulc2  11632  fsum00  11646  fsumabs  11649  fsumrelem  11655  fsumiun  11661  isumshft  11674  mertenslem2  11720  prodeq2  11741  prodrbdclem  11755  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  zproddc  11763  fprodseq  11767  prodfct  11771  fprodf1o  11772  prodssdc  11773  fprodmul  11775  fprodm1s  11785  fprodp1s  11786  fprodabs  11800  fprodap0  11805  fprod2dlemstep  11806  fprodcom2fi  11810  fprodrec  11813  fprodap0f  11820  fprodle  11824  bezoutlemmain  12192  nnwosdc  12233  pcmpt  12539  ctiunctlemudc  12681  gsumfzfsumlemm  14221  iuncld  14459  txcnp  14615  fsumcncntop  14911  bj-nntrans  15705