Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1581	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1400   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4457  omsinds  4769  fmptcof  5875  fliftfuns  6004  qliftfuns  6893  xpf1o  7144  finexdc  7207  ssfirab  7244  opabfi  7247  iunfidisj  7260  dcfi  7315  cc3  7634  lble  9278  exfzdc  10661  zsupcllemstep  10664  infssuzex  10668  uzsinds  10883  sumeq2  12127  sumfct  12142  sumrbdclem  12146  summodclem3  12149  summodclem2a  12150  zsumdc  12153  fsumgcl  12155  fsum3  12156  fsumf1o  12159  isumss  12160  isumss2  12162  fsum3cvg2  12163  fsumadd  12175  isummulc2  12195  fsum2dlemstep  12203  fisumcom2  12207  fsumshftm  12214  fisum0diag2  12216  fsummulc2  12217  fsum00  12231  fsumabs  12234  fsumrelem  12240  fsumiun  12246  isumshft  12259  mertenslem2  12305  prodeq2  12326  prodrbdclem  12340  prodmodclem3  12344  prodmodclem2a  12345  zproddc  12348  fprodseq  12352  prodfct  12356  fprodf1o  12357  prodssdc  12358  fprodmul  12360  fprodm1s  12370  fprodp1s  12371  fprodabs  12385  fprodap0  12390  fprod2dlemstep  12391  fprodcom2fi  12395  fprodrec  12398  fprodap0f  12405  fprodle  12409  bezoutlemmain  12777  nnwosdc  12818  pcmpt  13124  ctiunctlemudc  13330  gsummptfidmadd  14163  iuncld  15218  txcnp  15374  fsumcncntop  15670  bj-nntrans  16989