Theorem rspc 2810

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2440	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2299	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1508	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1552	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	syl5bi 151	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1333   = wceq 1335  Ⅎwnf 1440   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714

This theorem is referenced by:  rspcv  2812  rspc2  2827  pofun  4272  omsinds  4581  fmptcof  5634  fliftfuns  5748  qliftfuns  6564  xpf1o  6789  finexdc  6847  ssfirab  6878  iunfidisj  6890  dcfi  6925  cc3  7188  lble  8818  exfzdc  10139  uzsinds  10341  sumeq2  11256  sumfct  11271  sumrbdclem  11274  summodclem3  11277  summodclem2a  11278  zsumdc  11281  fsumgcl  11283  fsum3  11284  fsumf1o  11287  isumss  11288  isumss2  11290  fsum3cvg2  11291  fsumadd  11303  isummulc2  11323  fsum2dlemstep  11331  fisumcom2  11335  fsumshftm  11342  fisum0diag2  11344  fsummulc2  11345  fsum00  11359  fsumabs  11362  fsumrelem  11368  fsumiun  11374  isumshft  11387  mertenslem2  11433  prodeq2  11454  prodrbdclem  11468  prodmodclem3  11472  prodmodclem2a  11473  zproddc  11476  fprodseq  11480  prodfct  11484  fprodf1o  11485  prodssdc  11486  fprodmul  11488  fprodm1s  11498  fprodp1s  11499  fprodabs  11513  fprodap0  11518  fprod2dlemstep  11519  fprodcom2fi  11523  fprodrec  11526  fprodap0f  11533  fprodle  11537  zsupcllemstep  11831  infssuzex  11835  bezoutlemmain  11881  ctiunctlemudc  12166  iuncld  12515  txcnp  12671  fsumcncntop  12956  bj-nntrans  13526