Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1581	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1400   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is referenced by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4455  omsinds  4767  fmptcof  5869  fliftfuns  5998  qliftfuns  6887  xpf1o  7138  finexdc  7201  ssfirab  7238  opabfi  7241  iunfidisj  7254  dcfi  7309  cc3  7628  lble  9271  exfzdc  10642  zsupcllemstep  10645  infssuzex  10649  uzsinds  10864  sumeq2  12108  sumfct  12123  sumrbdclem  12127  summodclem3  12130  summodclem2a  12131  zsumdc  12134  fsumgcl  12136  fsum3  12137  fsumf1o  12140  isumss  12141  isumss2  12143  fsum3cvg2  12144  fsumadd  12156  isummulc2  12176  fsum2dlemstep  12184  fisumcom2  12188  fsumshftm  12195  fisum0diag2  12197  fsummulc2  12198  fsum00  12212  fsumabs  12215  fsumrelem  12221  fsumiun  12227  isumshft  12240  mertenslem2  12286  prodeq2  12307  prodrbdclem  12321  prodmodclem3  12325  prodmodclem2a  12326  zproddc  12329  fprodseq  12333  prodfct  12337  fprodf1o  12338  prodssdc  12339  fprodmul  12341  fprodm1s  12351  fprodp1s  12352  fprodabs  12366  fprodap0  12371  fprod2dlemstep  12372  fprodcom2fi  12376  fprodrec  12379  fprodap0f  12386  fprodle  12390  bezoutlemmain  12758  nnwosdc  12799  pcmpt  13105  ctiunctlemudc  13311  gsummptfidmadd  14144  iuncld  15199  txcnp  15355  fsumcncntop  15651  bj-nntrans  16960