Theorem rspc 2905

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2516	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2375	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1577	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1621	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2294	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398  Ⅎwnf 1509   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  rspcv  2907  rspc2  2922  rspc2vd  3197  pofun  4415  omsinds  4726  fmptcof  5822  fliftfuns  5949  qliftfuns  6831  xpf1o  7073  finexdc  7135  ssfirab  7172  opabfi  7175  iunfidisj  7188  dcfi  7223  cc3  7530  lble  9170  exfzdc  10530  zsupcllemstep  10533  infssuzex  10537  uzsinds  10750  sumeq2  11980  sumfct  11995  sumrbdclem  11999  summodclem3  12002  summodclem2a  12003  zsumdc  12006  fsumgcl  12008  fsum3  12009  fsumf1o  12012  isumss  12013  isumss2  12015  fsum3cvg2  12016  fsumadd  12028  isummulc2  12048  fsum2dlemstep  12056  fisumcom2  12060  fsumshftm  12067  fisum0diag2  12069  fsummulc2  12070  fsum00  12084  fsumabs  12087  fsumrelem  12093  fsumiun  12099  isumshft  12112  mertenslem2  12158  prodeq2  12179  prodrbdclem  12193  prodmodclem3  12197  prodmodclem2a  12198  zproddc  12201  fprodseq  12205  prodfct  12209  fprodf1o  12210  prodssdc  12211  fprodmul  12213  fprodm1s  12223  fprodp1s  12224  fprodabs  12238  fprodap0  12243  fprod2dlemstep  12244  fprodcom2fi  12248  fprodrec  12251  fprodap0f  12258  fprodle  12262  bezoutlemmain  12630  nnwosdc  12671  pcmpt  12977  ctiunctlemudc  13119  gsumfzfsumlemm  14663  iuncld  14906  txcnp  15062  fsumcncntop  15358  bj-nntrans  16647