Theorem rspc 2858

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2477	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2336	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1539	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1583	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364  Ⅎwnf 1471   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762

This theorem is referenced by:  rspcv  2860  rspc2  2875  rspc2vd  3149  pofun  4343  omsinds  4654  fmptcof  5725  fliftfuns  5841  qliftfuns  6673  xpf1o  6900  finexdc  6958  ssfirab  6990  opabfi  6992  iunfidisj  7005  dcfi  7040  cc3  7328  lble  8966  exfzdc  10307  uzsinds  10515  sumeq2  11502  sumfct  11517  sumrbdclem  11520  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  zsumdc  11527  fsumgcl  11529  fsum3  11530  fsumf1o  11533  isumss  11534  isumss2  11536  fsum3cvg2  11537  fsumadd  11549  isummulc2  11569  fsum2dlemstep  11577  fisumcom2  11581  fsumshftm  11588  fisum0diag2  11590  fsummulc2  11591  fsum00  11605  fsumabs  11608  fsumrelem  11614  fsumiun  11620  isumshft  11633  mertenslem2  11679  prodeq2  11700  prodrbdclem  11714  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  zproddc  11722  fprodseq  11726  prodfct  11730  fprodf1o  11731  prodssdc  11732  fprodmul  11734  fprodm1s  11744  fprodp1s  11745  fprodabs  11759  fprodap0  11764  fprod2dlemstep  11765  fprodcom2fi  11769  fprodrec  11772  fprodap0f  11779  fprodle  11783  zsupcllemstep  12082  infssuzex  12086  bezoutlemmain  12135  nnwosdc  12176  pcmpt  12481  ctiunctlemudc  12594  gsumfzfsumlemm  14075  iuncld  14283  txcnp  14439  fsumcncntop  14724  bj-nntrans  15443