Theorem rspc 2824

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2449	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2308	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1516	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1560	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	syl5bi 151	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1341   = wceq 1343  Ⅎwnf 1448   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728

This theorem is referenced by:  rspcv  2826  rspc2  2841  pofun  4290  omsinds  4599  fmptcof  5652  fliftfuns  5766  qliftfuns  6585  xpf1o  6810  finexdc  6868  ssfirab  6899  iunfidisj  6911  dcfi  6946  cc3  7209  lble  8842  exfzdc  10175  uzsinds  10377  sumeq2  11300  sumfct  11315  sumrbdclem  11318  summodclem3  11321  summodclem2a  11322  zsumdc  11325  fsumgcl  11327  fsum3  11328  fsumf1o  11331  isumss  11332  isumss2  11334  fsum3cvg2  11335  fsumadd  11347  isummulc2  11367  fsum2dlemstep  11375  fisumcom2  11379  fsumshftm  11386  fisum0diag2  11388  fsummulc2  11389  fsum00  11403  fsumabs  11406  fsumrelem  11412  fsumiun  11418  isumshft  11431  mertenslem2  11477  prodeq2  11498  prodrbdclem  11512  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  zproddc  11520  fprodseq  11524  prodfct  11528  fprodf1o  11529  prodssdc  11530  fprodmul  11532  fprodm1s  11542  fprodp1s  11543  fprodabs  11557  fprodap0  11562  fprod2dlemstep  11563  fprodcom2fi  11567  fprodrec  11570  fprodap0f  11577  fprodle  11581  zsupcllemstep  11878  infssuzex  11882  bezoutlemmain  11931  nnwosdc  11972  pcmpt  12273  ctiunctlemudc  12370  iuncld  12765  txcnp  12921  fsumcncntop  13206  bj-nntrans  13843