Theorem rspc 2923

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜓
rspc.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑))
2		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1581	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵
4		rspc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5	3, 4	nfim 1625	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)
6		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		rspc.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
9	2, 5, 8	spcgf 2907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)))
10	9	pm2.43a 51	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → 𝜓))
11	1, 10	biimtrid 152	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1400   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspcv  2925  rspc2  2941  rspc2vd  3216  pofun  4457  omsinds  4769  fmptcof  5875  fliftfuns  6004  qliftfuns  6893  xpf1o  7144  finexdc  7207  ssfirab  7244  opabfi  7247  iunfidisj  7260  dcfi  7315  cc3  7635  lble  9280  exfzdc  10670  zsupcllemstep  10673  infssuzex  10677  uzsinds  10895  sumeq2  12143  sumfct  12158  sumrbdclem  12162  summodclem3  12165  summodclem2a  12166  zsumdc  12169  fsumgcl  12171  fsum3  12172  fsumf1o  12175  isumss  12176  isumss2  12178  fsum3cvg2  12179  fsumadd  12191  isummulc2  12211  fsum2dlemstep  12219  fisumcom2  12223  fsumshftm  12230  fisum0diag2  12232  fsummulc2  12233  fsum00  12247  fsumabs  12250  fsumrelem  12256  fsumiun  12262  isumshft  12275  mertenslem2  12321  prodeq2  12342  prodrbdclem  12356  prodmodclem3  12360  prodmodclem2a  12361  zproddc  12364  fprodseq  12368  prodfct  12372  fprodf1o  12373  prodssdc  12374  fprodmul  12376  fprodm1s  12386  fprodp1s  12387  fprodabs  12401  fprodap0  12406  fprod2dlemstep  12407  fprodcom2fi  12411  fprodrec  12414  fprodap0f  12421  fprodle  12425  bezoutlemmain  12793  nnwosdc  12834  pcmpt  13144  ctiunctlemudc  13379  gsummptfidmadd  14212  iuncld  15268  txcnp  15424  fsumcncntop  15720  bj-nntrans  17099