Theorem reldvdsr 14398

Description: The divides relation is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
reldvdsr.1	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
reldvdsr	⊢ Rel ∥

Proof of Theorem reldvdsr

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvdsr 14395	. . 3 ⊢ ∥r = (𝑤 ∈ V ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑤)(𝑧(.r‘𝑤)𝑥) = 𝑦)})
2	1	relmptopab 6291	. 2 ⊢ Rel (∥r‘𝑅)
3		reldvdsr.1	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	releqi 4858	. 2 ⊢ (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅))
5	2, 4	mpbir 146	1 ⊢ Rel ∥

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  ._rcmulr 13432  ∥_rcdsr 14392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-dvdsr 14395

This theorem is used by:  reldvdsrsrg  14399