Theorem ltletrd 8469

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltwlin 8011

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8472  lediv12a  8940  btwnapz  9475  rpgecl  9776  fznatpl1  10170  elfz1b  10184  exbtwnzlemstep  10356  ceiqle  10424  modqabs  10468  mulp1mod1  10476  seq3f1olemqsumk  10623  seqf1oglem1  10630  expgt1  10688  leexp2a  10703  bernneq3  10773  expnbnd  10774  nn0opthlem2d  10832  cvg1nlemres  11169  resqrexlemlo  11197  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemga  11207  abssubap0  11274  icodiamlt  11364  rpmaxcl  11407  reccn2ap  11497  divcnv  11681  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemabsle  11711  fprodntrivap  11768  efcllemp  11842  sin01bnd  11941  cos01bnd  11942  sin01gt0  11946  cos12dec  11952  eirraplem  11961  dvdslelemd  12027  bitsmod  12140  bitsinv1lem  12145  dvdsbnd  12150  isprm5  12337  1arith  12563  2expltfac  12635  znnen  12642  nninfdclemp1  12694  cnopnap  14955  dedekindeulemlu  14965  suplociccreex  14968  dedekindicclemlu  14974  dedekindicc  14977  ivthinclemlopn  14980  hoverb  14992  limcimolemlt  15008  limccnp2lem  15020  coseq00topi  15179  cosordlem  15193  logdivlti  15225  gausslemma2dlem0c  15400  lgsquadlem1  15426