Theorem ltletrd 8758

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lelttrdi  8761  lediv12a  9232  btwnapz  9787  rpgecl  10100  fznatpl1  10500  elfz1b  10514  exbtwnzlemstep  10699  ceiqle  10771  modqabs  10815  mulp1mod1  10823  seq3f1olemqsumk  10970  seqf1oglem1  10977  expgt1  11035  leexp2a  11050  bernneq3  11121  expnbnd  11122  nn0opthlem2d  11181  cvg1nlemres  11773  resqrexlemlo  11801  resqrexlemnmsq  11805  resqrexlemga  11811  abssubap0  11879  icodiamlt  11969  rpmaxcl  12012  reccn2ap  12104  divcnv  12289  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemabsle  12319  fprodntrivap  12376  efcllemp  12450  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  sin01gt0  12554  cos12dec  12560  eirraplem  12569  dvdslelemd  12635  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  dvdsbnd  12758  isprm5  12946  sqrtrirr  13014  1arith  13175  2expltfac  13248  znnen  13347  nninfdclemp1  13399  cnopnap  15837  dedekindeulemlu  15847  suplociccreex  15850  dedekindicclemlu  15856  dedekindicc  15859  ivthinclemlopn  15862  hoverb  15874  limcimolemlt  15890  limccnp2lem  15902  coseq00topi  16062  cosordlem  16077  logdivlti  16111  logdivlt  16124  logdivle  16125  birthdaylem3  16227  pellexlem2  16230  ppiqfi  16242  chtqrpcl  16279  ppiqltx  16281  chtqub  16296  bpos1  16310  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem6  16316  gausslemma2dlem0c  16375  lgsquadlem1  16401  clwwlkext2edg  16868