ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltletrd GIF version

Theorem ltletrd 7822
Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
ltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 ltadd2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltadd2d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd2d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 ltletr 7495 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1172 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 424 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436   class class class wbr 3814  cr 7270   < clt 7443  cle 7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltwlin 7379
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449
This theorem is referenced by:  lelttrdi  7825  lediv12a  8267  rpgecl  9071  fznatpl1  9397  elfz1b  9411  exbtwnzlemstep  9562  ceiqle  9623  modqabs  9667  mulp1mod1  9675  expgt1  9844  leexp2a  9859  bernneq3  9925  expnbnd  9926  nn0opthlem2d  9978  cvg1nlemres  10259  resqrexlemlo  10287  resqrexlemnmsq  10291  resqrexlemga  10297  abssubap0  10364  icodiamlt  10454  dvdslelemd  10638  dvdsbnd  10742  znnen  11005
  Copyright terms: Public domain W3C validator