Theorem ltletrd 8753

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltwlin 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  lelttrdi  8756  lediv12a  9227  btwnapz  9781  rpgecl  10094  fznatpl1  10494  elfz1b  10508  exbtwnzlemstep  10693  ceiqle  10765  modqabs  10809  mulp1mod1  10817  seq3f1olemqsumk  10964  seqf1oglem1  10971  expgt1  11029  leexp2a  11044  bernneq3  11115  expnbnd  11116  nn0opthlem2d  11175  cvg1nlemres  11767  resqrexlemlo  11795  resqrexlemnmsq  11799  resqrexlemga  11805  abssubap0  11873  icodiamlt  11963  rpmaxcl  12006  reccn2ap  12098  divcnv  12283  cvgratnnlembern  12309  cvgratnnlemabsle  12313  fprodntrivap  12370  efcllemp  12444  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  sin01gt0  12548  cos12dec  12554  eirraplem  12563  dvdslelemd  12629  bitsmod  12742  bitsinv1lem  12747  dvdsbnd  12752  isprm5  12940  sqrtrirr  13008  1arith  13169  2expltfac  13242  znnen  13341  nninfdclemp1  13393  cnopnap  15803  dedekindeulemlu  15813  suplociccreex  15816  dedekindicclemlu  15822  dedekindicc  15825  ivthinclemlopn  15828  hoverb  15840  limcimolemlt  15856  limccnp2lem  15868  coseq00topi  16028  cosordlem  16042  logdivlti  16075  logdivlt  16088  logdivle  16089  birthdaylem3  16188  pellexlem2  16191  ppiqfi  16203  chtqrpcl  16240  ppiqltx  16242  chtqub  16257  bpos1  16271  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem6  16277  gausslemma2dlem0c  16336  lgsquadlem1  16362  clwwlkext2edg  16829