Theorem ltletrd 8758

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lelttrdi  8761  lediv12a  9232  btwnapz  9786  rpgecl  10099  fznatpl1  10499  elfz1b  10513  exbtwnzlemstep  10698  ceiqle  10770  modqabs  10814  mulp1mod1  10822  seq3f1olemqsumk  10969  seqf1oglem1  10976  expgt1  11034  leexp2a  11049  bernneq3  11120  expnbnd  11121  nn0opthlem2d  11180  cvg1nlemres  11772  resqrexlemlo  11800  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemga  11810  abssubap0  11878  icodiamlt  11968  rpmaxcl  12011  reccn2ap  12103  divcnv  12288  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemabsle  12318  fprodntrivap  12375  efcllemp  12449  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  sin01gt0  12553  cos12dec  12559  eirraplem  12568  dvdslelemd  12634  bitsmod  12747  bitsinv1lem  12752  dvdsbnd  12757  isprm5  12945  sqrtrirr  13013  1arith  13174  2expltfac  13247  znnen  13346  nninfdclemp1  13398  cnopnap  15854  dedekindeulemlu  15864  suplociccreex  15867  dedekindicclemlu  15873  dedekindicc  15876  ivthinclemlopn  15879  hoverb  15891  limcimolemlt  15907  limccnp2lem  15919  coseq00topi  16079  cosordlem  16094  logdivlti  16128  logdivlt  16141  logdivle  16142  birthdaylem3  16244  pellexlem2  16247  ppiqfi  16259  chtqrpcl  16296  ppiqltx  16298  chtqub  16313  bpos1  16327  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem6  16333  gausslemma2dlem0c  16392  lgsquadlem1  16418  clwwlkext2edg  16885