Theorem ltletrd 8741

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8744  lediv12a  9214  btwnapz  9755  rpgecl  10062  fznatpl1  10461  elfz1b  10475  exbtwnzlemstep  10660  ceiqle  10728  modqabs  10772  mulp1mod1  10780  seq3f1olemqsumk  10927  seqf1oglem1  10934  expgt1  10992  leexp2a  11007  bernneq3  11078  expnbnd  11079  nn0opthlem2d  11137  cvg1nlemres  11729  resqrexlemlo  11757  resqrexlemnmsq  11761  resqrexlemga  11767  abssubap0  11834  icodiamlt  11924  rpmaxcl  11967  reccn2ap  12057  divcnv  12242  cvgratnnlembern  12268  cvgratnnlemabsle  12272  fprodntrivap  12329  efcllemp  12403  sin01bnd  12502  cos01bnd  12503  sin01gt0  12507  cos12dec  12513  eirraplem  12522  dvdslelemd  12588  bitsmod  12701  bitsinv1lem  12706  dvdsbnd  12711  isprm5  12898  1arith  13124  2expltfac  13196  znnen  13267  nninfdclemp1  13319  cnopnap  15635  dedekindeulemlu  15645  suplociccreex  15648  dedekindicclemlu  15654  dedekindicc  15657  ivthinclemlopn  15660  hoverb  15672  limcimolemlt  15688  limccnp2lem  15700  coseq00topi  15859  cosordlem  15873  logdivlti  15905  pellexlem2  16006  gausslemma2dlem0c  16084  lgsquadlem1  16110  clwwlkext2edg  16577