Theorem ltletrd 8495

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923   < clt 8106   ≤ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-pre-ltwlin 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8498  lediv12a  8966  btwnapz  9502  rpgecl  9803  fznatpl1  10197  elfz1b  10211  exbtwnzlemstep  10388  ceiqle  10456  modqabs  10500  mulp1mod1  10508  seq3f1olemqsumk  10655  seqf1oglem1  10662  expgt1  10720  leexp2a  10735  bernneq3  10805  expnbnd  10806  nn0opthlem2d  10864  cvg1nlemres  11238  resqrexlemlo  11266  resqrexlemnmsq  11270  resqrexlemga  11276  abssubap0  11343  icodiamlt  11433  rpmaxcl  11476  reccn2ap  11566  divcnv  11750  cvgratnnlembern  11776  cvgratnnlemabsle  11780  fprodntrivap  11837  efcllemp  11911  sin01bnd  12010  cos01bnd  12011  sin01gt0  12015  cos12dec  12021  eirraplem  12030  dvdslelemd  12096  bitsmod  12209  bitsinv1lem  12214  dvdsbnd  12219  isprm5  12406  1arith  12632  2expltfac  12704  znnen  12711  nninfdclemp1  12763  cnopnap  15025  dedekindeulemlu  15035  suplociccreex  15038  dedekindicclemlu  15044  dedekindicc  15047  ivthinclemlopn  15050  hoverb  15062  limcimolemlt  15078  limccnp2lem  15090  coseq00topi  15249  cosordlem  15263  logdivlti  15295  gausslemma2dlem0c  15470  lgsquadlem1  15496