Theorem ltletrd 8714

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd2d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 8379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8717  lediv12a  9185  btwnapz  9726  rpgecl  10033  fznatpl1  10432  elfz1b  10446  exbtwnzlemstep  10631  ceiqle  10699  modqabs  10743  mulp1mod1  10751  seq3f1olemqsumk  10898  seqf1oglem1  10905  expgt1  10963  leexp2a  10978  bernneq3  11049  expnbnd  11050  nn0opthlem2d  11108  cvg1nlemres  11695  resqrexlemlo  11723  resqrexlemnmsq  11727  resqrexlemga  11733  abssubap0  11800  icodiamlt  11890  rpmaxcl  11933  reccn2ap  12023  divcnv  12208  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemabsle  12238  fprodntrivap  12295  efcllemp  12369  sin01bnd  12468  cos01bnd  12469  sin01gt0  12473  cos12dec  12479  eirraplem  12488  dvdslelemd  12554  bitsmod  12667  bitsinv1lem  12672  dvdsbnd  12677  isprm5  12864  1arith  13090  2expltfac  13162  znnen  13233  nninfdclemp1  13285  cnopnap  15602  dedekindeulemlu  15612  suplociccreex  15615  dedekindicclemlu  15621  dedekindicc  15624  ivthinclemlopn  15627  hoverb  15639  limcimolemlt  15655  limccnp2lem  15667  coseq00topi  15826  cosordlem  15840  logdivlti  15872  pellexlem2  15972  gausslemma2dlem0c  16050  lgsquadlem1  16076  clwwlkext2edg  16543