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Theorem comet 13969
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
comet.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
comet.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
comet.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
comet.5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
comet (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem comet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13813 . . . 4 Rel ∞Met
2 comet.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 relelfvdm 5547 . . . 4 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
41, 2, 3sylancr 414 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
54elexd 2750 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
6 comet.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
7 xmetf 13820 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
82, 7syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
98ffnd 5366 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
10 xmetcl 13822 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ ℝ*)
11 xmetge0 13835 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘Žπ·π‘))
12 elxrge0 9977 . . . . . . . 8 ((π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘Žπ·π‘)))
1310, 11, 12sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
14133expb 1204 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
152, 14sylan 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
1615ralrimivva 2559 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
17 ffnov 5978 . . . 4 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞)))
189, 16, 17sylanbrc 417 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
19 fco 5381 . . 3 ((𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„* ∧ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐷):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
206, 18, 19syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
21 opelxpi 4658 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
22 fvco3 5587 . . . . . 6 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
238, 21, 22syl2an 289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)))
24 df-ov 5877 . . . . 5 (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
25 df-ov 5877 . . . . . 6 (π‘Žπ·π‘) = (π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
2625fveq2i 5518 . . . . 5 (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
2723, 24, 263eqtr4g 2235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
2827eqeq1d 2186 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0))
29 fveq2 5515 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
3029eqeq1d 2186 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0))
31 eqeq1 2184 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0))
3230, 31bibi12d 235 . . . 4 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0) ↔ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0)))
33 comet.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3433ralrimiva 2550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3534adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = 0))
3632, 35, 15rspcdva 2846 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) = 0 ↔ (π‘Žπ·π‘) = 0))
37 xmeteq0 13829 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
38373expb 1204 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
392, 38sylan 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
4028, 36, 393bitrd 214 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
416adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
42153adantr3 1158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞))
4341, 42ffvelcdmd 5652 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ∈ ℝ*)
4418adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]+∞))
45 simpr3 1005 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑋)
46 simpr1 1003 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑋)
4744, 45, 46fovcdmd 6018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞))
48 simpr2 1004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑋)
4944, 45, 48fovcdmd 6018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞))
50 ge0xaddcl 9982 . . . . . 6 (((π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞))
5147, 49, 50syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞))
5241, 51ffvelcdmd 5652 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ∈ ℝ*)
5341, 47ffvelcdmd 5652 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) ∈ ℝ*)
5441, 49ffvelcdmd 5652 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)) ∈ ℝ*)
5553, 54xaddcld 9883 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))) ∈ ℝ*)
56 3anrot 983 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))
57 xmettri2 13831 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
5856, 57sylan2br 288 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
592, 58sylan 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
60 comet.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6160ralrimivva 2559 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6261adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
63 breq1 4006 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦))
6429breq1d 4013 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6563, 64imbi12d 234 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Žπ·π‘) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
66 breq2 4007 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 ↔ (π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
67 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
6867breq2d 4015 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
6966, 68imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑦 = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (((π‘Žπ·π‘) ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
7065, 69rspc2va 2855 . . . . . 6 ((((π‘Žπ·π‘) ∈ (0[,]+∞) ∧ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) ∈ (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
7142, 51, 62, 70syl21anc 1237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘Žπ·π‘) ≀ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
7259, 71mpd 13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
73 comet.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7473ralrimivva 2559 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7574adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
76 fvoveq1 5897 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)))
77 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)))
7877oveq1d 5889 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)))
7976, 78breq12d 4016 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘π·π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦))))
80 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦) = ((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))
8180fveq2d 5519 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) = (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))
82 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))
8382oveq2d 5890 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8481, 83breq12d 4016 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑐𝐷𝑏) β†’ ((πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))))
8579, 84rspc2va 2855 . . . . 5 ((((π‘π·π‘Ž) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑐𝐷𝑏) ∈ (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΉβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8647, 49, 75, 85syl21anc 1237 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜((π‘π·π‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
8743, 52, 55, 72, 86xrletrd 9811 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)) ≀ ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
88273adantr3 1158 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(π‘Žπ·π‘)))
898adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9045, 46opelxpd 4659 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
91 fvco3 5587 . . . . . 6 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
9289, 90, 91syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)))
93 df-ov 5877 . . . . 5 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
94 df-ov 5877 . . . . . 6 (π‘π·π‘Ž) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©)
9594fveq2i 5518 . . . . 5 (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘ŽβŸ©))
9692, 93, 953eqtr4g 2235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) = (πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)))
9745, 48opelxpd 4659 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
98 fvco3 5587 . . . . . 6 ((𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
9989, 97, 98syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)))
100 df-ov 5877 . . . . 5 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = ((𝐹 ∘ 𝐷)β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
101 df-ov 5877 . . . . . 6 (𝑐𝐷𝑏) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
102101fveq2i 5518 . . . . 5 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)) = (πΉβ€˜(π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©))
10399, 100, 1023eqtr4g 2235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) = (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏)))
10496, 103oveq12d 5892 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏)) = ((πΉβ€˜(π‘π·π‘Ž)) +𝑒 (πΉβ€˜(𝑐𝐷𝑏))))
10587, 88, 1043brtr4d 4035 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘Ž(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏) ≀ ((𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)π‘Ž) +𝑒 (𝑐(𝐹 ∘ 𝐷)𝑏)))
1065, 20, 40, 105isxmetd 13817 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐷) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βŸ¨cop 3595   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  +∞cpnf 7988  β„*cxr 7990   ≀ cle 7992   +𝑒 cxad 9769  [,]cicc 9890  βˆžMetcxmet 13410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-2 8977  df-xadd 9772  df-icc 9894  df-xmet 13418
This theorem is referenced by:  bdxmet  13971
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