Theorem rspc2v 2924

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2922	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  rspc2va  2925  rspc3v  2927  disji2  4085  ontriexmidim  4626  wetriext  4681  f1veqaeq  5920  isorel  5959  oveqrspc2v  6055  fovcld  6136  caovclg  6185  caovcomg  6188  smoel  6509  dcdifsnid  6715  unfiexmid  7153  prfidceq  7163  fiintim  7166  supmoti  7235  supsnti  7247  isotilem  7248  onntri35  7498  onntri45  7502  cauappcvgprlem1  7922  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprprlemval  7951  ltordlem  8704  frecuzrdgrrn  10716  frec2uzrdg  10717  frecuzrdgrcl  10718  frecuzrdgrclt  10723  seq3caopr3  10799  seq3homo  10835  seqhomog  10838  climcn2  11932  fprodcl2lem  12229  ennnfonelemim  13108  mhmlin  13613  issubg2m  13839  nsgbi  13854  ghmlin  13898  issubrng2  14288  issubrg2  14319  lmodlema  14371  islmodd  14372  rmodislmodlem  14429  rmodislmod  14430  rnglidlmcl  14559  inopn  14797  basis1  14841  basis2  14842  xmeteq0  15153  cncfi  15372  limccnp2lem  15470  logltb  15668  2sqlem8  15925  redcwlpo  16771  redc0  16773  reap0  16774