Theorem rspc2v 2923

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1576	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1576	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2921	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804

This theorem is referenced by:  rspc2va  2924  rspc3v  2926  disji2  4080  ontriexmidim  4620  wetriext  4675  f1veqaeq  5909  isorel  5948  oveqrspc2v  6044  fovcld  6125  caovclg  6174  caovcomg  6177  smoel  6465  dcdifsnid  6671  unfiexmid  7109  prfidceq  7119  fiintim  7122  supmoti  7191  supsnti  7203  isotilem  7204  onntri35  7454  onntri45  7458  cauappcvgprlem1  7878  caucvgprlemnkj  7885  caucvgprlemnbj  7886  caucvgprprlemval  7907  ltordlem  8661  frecuzrdgrrn  10669  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgrcl  10671  frecuzrdgrclt  10676  seq3caopr3  10752  seq3homo  10788  seqhomog  10791  climcn2  11869  fprodcl2lem  12165  ennnfonelemim  13044  mhmlin  13549  issubg2m  13775  nsgbi  13790  ghmlin  13834  issubrng2  14223  issubrg2  14254  lmodlema  14305  islmodd  14306  rmodislmodlem  14363  rmodislmod  14364  rnglidlmcl  14493  inopn  14726  basis1  14770  basis2  14771  xmeteq0  15082  cncfi  15301  limccnp2lem  15399  logltb  15597  2sqlem8  15851  redcwlpo  16659  redc0  16661  reap0  16662