Theorem rspc2v 2881

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2879	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765

This theorem is referenced by:  rspc2va  2882  rspc3v  2884  disji2  4027  ontriexmidim  4559  wetriext  4614  f1veqaeq  5819  isorel  5858  oveqrspc2v  5952  fovcld  6031  caovclg  6080  caovcomg  6083  smoel  6367  dcdifsnid  6571  unfiexmid  6988  prfidceq  6998  fiintim  7001  supmoti  7068  supsnti  7080  isotilem  7081  onntri35  7320  onntri45  7324  cauappcvgprlem1  7743  caucvgprlemnkj  7750  caucvgprlemnbj  7751  caucvgprprlemval  7772  ltordlem  8526  frecuzrdgrrn  10517  frec2uzrdg  10518  frecuzrdgrcl  10519  frecuzrdgrclt  10524  seq3caopr3  10600  seq3homo  10636  seqhomog  10639  climcn2  11491  fprodcl2lem  11787  ennnfonelemim  12666  mhmlin  13169  issubg2m  13395  nsgbi  13410  ghmlin  13454  issubrng2  13842  issubrg2  13873  lmodlema  13924  islmodd  13925  rmodislmodlem  13982  rmodislmod  13983  rnglidlmcl  14112  inopn  14323  basis1  14367  basis2  14368  xmeteq0  14679  cncfi  14898  limccnp2lem  14996  logltb  15194  2sqlem8  15448  redcwlpo  15786  redc0  15788  reap0  15789