Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4122  ontriexmidim  4669  wetriext  4724  f1veqaeq  5975  isorel  6014  oveqrspc2v  6112  fovcld  6193  caovclg  6242  caovcomg  6245  smoel  6571  dcdifsnid  6777  unfiexmid  7225  prfidceq  7235  fiintim  7238  supmoti  7334  supsnti  7346  isotilem  7347  onntri35  7597  onntri45  7601  cauappcvgprlem1  8027  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprprlemval  8056  ltordlem  8812  frecuzrdgrrn  10860  frec2uzrdg  10861  frecuzrdgrcl  10862  frecuzrdgrclt  10867  seq3caopr3  10943  seq3homo  10979  seqhomog  10982  climcn2  12094  fprodcl2lem  12391  ennnfonelemim  13367  mhmlin  13827  issubg2m  14045  nsgbi  14060  ghmlin  14104  issubrng2  14602  issubrg2  14633  lmodlema  14712  islmodd  14713  rmodislmodlem  14771  rmodislmod  14772  rnglidlmcl  14901  inopn  15195  basis1  15239  basis2  15240  xmeteq0  15551  cncfi  15770  limccnp2lem  15868  logltb  16068  2sqlem8  16408  redcwlpo  17272  redc0  17274  reap0  17275