Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is referenced by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4117  ontriexmidim  4664  wetriext  4719  f1veqaeq  5965  isorel  6004  oveqrspc2v  6102  fovcld  6183  caovclg  6232  caovcomg  6235  smoel  6561  dcdifsnid  6767  unfiexmid  7215  prfidceq  7225  fiintim  7228  supmoti  7323  supsnti  7335  isotilem  7336  onntri35  7586  onntri45  7590  cauappcvgprlem1  8016  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprprlemval  8045  ltordlem  8800  frecuzrdgrrn  10823  frec2uzrdg  10824  frecuzrdgrcl  10825  frecuzrdgrclt  10830  seq3caopr3  10906  seq3homo  10942  seqhomog  10945  climcn2  12053  fprodcl2lem  12350  ennnfonelemim  13293  mhmlin  13751  issubg2m  13969  nsgbi  13984  ghmlin  14028  issubrng2  14491  issubrg2  14522  lmodlema  14601  islmodd  14602  rmodislmodlem  14659  rmodislmod  14660  rnglidlmcl  14789  inopn  15027  basis1  15071  basis2  15072  xmeteq0  15383  cncfi  15602  limccnp2lem  15700  logltb  15898  2sqlem8  16156  redcwlpo  17010  redc0  17012  reap0  17013