Theorem rspc2v 2869

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2867	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754

This theorem is referenced by:  rspc2va  2870  rspc3v  2872  disji2  4011  ontriexmidim  4536  wetriext  4591  f1veqaeq  5786  isorel  5825  oveqrspc2v  5918  fovcld  5996  caovclg  6044  caovcomg  6047  smoel  6319  dcdifsnid  6523  unfiexmid  6935  fiintim  6946  supmoti  7010  supsnti  7022  isotilem  7023  onntri35  7254  onntri45  7258  cauappcvgprlem1  7676  caucvgprlemnkj  7683  caucvgprlemnbj  7684  caucvgprprlemval  7705  ltordlem  8457  frecuzrdgrrn  10426  frec2uzrdg  10427  frecuzrdgrcl  10428  frecuzrdgrclt  10433  seq3caopr3  10499  seq3homo  10528  climcn2  11335  fprodcl2lem  11631  ennnfonelemim  12443  mhmlin  12885  issubg2m  13094  nsgbi  13109  ghmlin  13148  issubrng2  13518  issubrg2  13549  lmodlema  13569  islmodd  13570  rmodislmodlem  13627  rmodislmod  13628  rnglidlmcl  13757  inopn  13900  basis1  13944  basis2  13945  xmeteq0  14256  cncfi  14462  limccnp2lem  14542  logltb  14692  2sqlem8  14867  redcwlpo  15201  redc0  15203  reap0  15204