Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4122  ontriexmidim  4671  wetriext  4726  f1veqaeq  5978  isorel  6017  oveqrspc2v  6115  fovcld  6196  caovclg  6245  caovcomg  6248  smoel  6576  dcdifsnid  6782  unfiexmid  7231  prfidceq  7241  fiintim  7244  supmoti  7339  supsnti  7351  isotilem  7352  onntri35  7602  onntri45  7606  cauappcvgprlem1  8032  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprprlemval  8061  ltordlem  8817  frecuzrdgrrn  10865  frec2uzrdg  10866  frecuzrdgrcl  10867  frecuzrdgrclt  10872  seq3caopr3  10948  seq3homo  10984  seqhomog  10987  climcn2  12099  fprodcl2lem  12396  ennnfonelemim  13372  mhmlin  13832  issubg2m  14050  nsgbi  14065  ghmlin  14109  issubrng2  14626  issubrg2  14657  lmodlema  14736  islmodd  14737  rmodislmodlem  14795  rmodislmod  14796  rnglidlmcl  14925  inopn  15246  basis1  15290  basis2  15291  xmeteq0  15602  cncfi  15821  limccnp2lem  15919  logltb  16121  2sqlem8  16464  redcwlpo  17329  redc0  17331  reap0  17332