Theorem rspc2v 2890

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1551	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1551	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2888	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774

This theorem is referenced by:  rspc2va  2891  rspc3v  2893  disji2  4037  ontriexmidim  4570  wetriext  4625  f1veqaeq  5838  isorel  5877  oveqrspc2v  5971  fovcld  6050  caovclg  6099  caovcomg  6102  smoel  6386  dcdifsnid  6590  unfiexmid  7015  prfidceq  7025  fiintim  7028  supmoti  7095  supsnti  7107  isotilem  7108  onntri35  7349  onntri45  7353  cauappcvgprlem1  7772  caucvgprlemnkj  7779  caucvgprlemnbj  7780  caucvgprprlemval  7801  ltordlem  8555  frecuzrdgrrn  10553  frec2uzrdg  10554  frecuzrdgrcl  10555  frecuzrdgrclt  10560  seq3caopr3  10636  seq3homo  10672  seqhomog  10675  climcn2  11620  fprodcl2lem  11916  ennnfonelemim  12795  mhmlin  13299  issubg2m  13525  nsgbi  13540  ghmlin  13584  issubrng2  13972  issubrg2  14003  lmodlema  14054  islmodd  14055  rmodislmodlem  14112  rmodislmod  14113  rnglidlmcl  14242  inopn  14475  basis1  14519  basis2  14520  xmeteq0  14831  cncfi  15050  limccnp2lem  15148  logltb  15346  2sqlem8  15600  redcwlpo  15994  redc0  15996  reap0  15997