Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4122  ontriexmidim  4669  wetriext  4724  f1veqaeq  5975  isorel  6014  oveqrspc2v  6112  fovcld  6193  caovclg  6242  caovcomg  6245  smoel  6571  dcdifsnid  6777  unfiexmid  7225  prfidceq  7235  fiintim  7238  supmoti  7333  supsnti  7345  isotilem  7346  onntri35  7596  onntri45  7600  cauappcvgprlem1  8026  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprprlemval  8055  ltordlem  8810  frecuzrdgrrn  10845  frec2uzrdg  10846  frecuzrdgrcl  10847  frecuzrdgrclt  10852  seq3caopr3  10928  seq3homo  10964  seqhomog  10967  climcn2  12075  fprodcl2lem  12372  ennnfonelemim  13315  mhmlin  13774  issubg2m  13992  nsgbi  14007  ghmlin  14051  issubrng2  14518  issubrg2  14549  lmodlema  14628  islmodd  14629  rmodislmodlem  14687  rmodislmod  14688  rnglidlmcl  14817  inopn  15104  basis1  15148  basis2  15149  xmeteq0  15460  cncfi  15679  limccnp2lem  15777  logltb  15975  2sqlem8  16242  redcwlpo  17105  redc0  17107  reap0  17108