Theorem rspc2v 2856

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜒
2		nfv 1528	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		rspc2v.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		rspc2v.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2854	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741

This theorem is referenced by:  rspc2va  2857  rspc3v  2859  disji2  3998  ontriexmidim  4523  wetriext  4578  f1veqaeq  5772  isorel  5811  oveqrspc2v  5904  fovcl  5982  caovclg  6029  caovcomg  6032  smoel  6303  dcdifsnid  6507  unfiexmid  6919  fiintim  6930  supmoti  6994  supsnti  7006  isotilem  7007  onntri35  7238  onntri45  7242  cauappcvgprlem1  7660  caucvgprlemnkj  7667  caucvgprlemnbj  7668  caucvgprprlemval  7689  ltordlem  8441  frecuzrdgrrn  10410  frec2uzrdg  10411  frecuzrdgrcl  10412  frecuzrdgrclt  10417  seq3caopr3  10483  seq3homo  10512  climcn2  11319  fprodcl2lem  11615  ennnfonelemim  12427  mhmlin  12863  issubg2m  13054  nsgbi  13069  issubrg2  13367  lmodlema  13387  islmodd  13388  rmodislmodlem  13445  rmodislmod  13446  inopn  13588  basis1  13632  basis2  13633  xmeteq0  13944  cncfi  14150  limccnp2lem  14230  logltb  14380  2sqlem8  14555  redcwlpo  14888  redc0  14890  reap0  14891