Theorem dfgrp3mlem 12844

Description: Lemma for dfgrp3m 12845. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
dfgrp3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3mlem	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝐺,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   + ,𝑎,𝑖,𝑙,𝑟,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfgrp3mlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤 𝐺 ∈ Smgrp
2		nfe1 1496	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵
3		nfv 1528	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)
4	1, 2, 3	nf3an 1566	. 2 ⊢ Ⅎ𝑤(𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦))
5		nfv 1528	. 2 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
6		simp2 998	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵)
7		oveq2 5876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑤))
8	7	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
9	8	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦))
10		oveq1 5875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑟))
11	10	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
12	11	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦))
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
14	13	ralbidv 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
15	14	rspcv 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)))
16		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
17	16	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤))
18		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
19	18	rexbidv 2478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
20	17, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤)))
21	20	rspcva 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤))
22		oveq1 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → (𝑙 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑤))
23	22	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
24	23	cbvrexvw 2708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
25	24	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
26	25	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑤 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑤) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
27	21, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
28	27	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
29	15, 28	syldc 46	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
30	29	3ad2ant3 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤))
31	30	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
32		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
33	32	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎))
34		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
35	34	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
36	33, 35	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)))
37	13, 36	rspc2va 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑤) = 𝑎 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
38	37	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
39	38	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
40	39	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎))
41	40	impl 380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
42	41	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎)
43		oveq2 5876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑤 + 𝑟) = (𝑤 + 𝑧))
44	43	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ (𝑤 + 𝑧) = 𝑎))
45	44	cbvrexvw 2708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
46		simpll1 1036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Smgrp)
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
48		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
50		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
51		dfgrp3.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
52		dfgrp3.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ + = (+g‘𝐺)
53	51, 52	sgrpass 12693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
54	47, 48, 49, 50, 53	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)))
55		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)
56	55	oveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑧) = (𝑤 + 𝑧))
57	54, 56	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
58	57	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧))
59		oveq2 5876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑢 + 𝑎))
60		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑤 + 𝑧) = 𝑎)
61	59, 60	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → ((𝑢 + (𝑤 + 𝑧)) = (𝑤 + 𝑧) ↔ (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
62	58, 61	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
63	62	rexlimdva 2594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
64	45, 63	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
65	64	adantrl 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑟) = 𝑎 → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎))
66	42, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → (𝑢 + 𝑎) = 𝑎)
67		oveq2 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑙 + 𝑥) = (𝑙 + 𝑎))
68	67	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
69	68	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦))
70		oveq1 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑟) = (𝑎 + 𝑟))
71	70	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
72	71	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦))
73	69, 72	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦)))
74		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
75	74	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
76		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
77	76	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑦) ↔ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢)))
79	73, 78	rspc2va 2855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑎 + 𝑟) = 𝑢))
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
81	80	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
82	81	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
83	82	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
84	83	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢))
85	84	impl 380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢)
86		oveq1 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 𝑎) = (𝑖 + 𝑎))
87	86	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
88	87	cbvrexvw 2708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑎) = 𝑢 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
89	85, 88	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
90	89	adantllr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
91	90	adantrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)
92	66, 91	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 + 𝑤) = 𝑤)) → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
93	92	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
94	93	ralrimdva 2557	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
95	94	reximdva 2579	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢 + 𝑤) = 𝑤 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢)))
96	31, 95	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))
97	4, 5, 6, 96	exlimdd 1872	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃𝑙 ∈ 𝐵 (𝑙 + 𝑥) = 𝑦 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑟) = 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑎) = 𝑎 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑎) = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ‘cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +_gcplusg 12505  Smgrpcsgrp 12686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-sgrp 12687

This theorem is referenced by:  dfgrp3m  12845