ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3distr GIF version

Theorem seq3distr 10624
Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3distr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3distr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seq3distr.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seq3distr.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
seq3distr.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
seq3distr.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
seq3distr.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3distr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3distr
Dummy variables 𝑏 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3distr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 seq3distr.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3 seq3distr.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 seq3distr.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5 seq3distr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑆)
65adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐶𝑆)
7 seq3distr.t . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
87ralrimivva 2579 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
9 oveq1 5929 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑦))
109eleq1d 2265 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
11 oveq2 5930 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑏))
1211eleq1d 2265 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
1310, 12cbvral2v 2742 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
148, 13sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
1514adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
16 oveq1 5929 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐶 → (𝑎𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑏))
1716eleq1d 2265 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
18 oveq2 5930 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
1918eleq1d 2265 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆))
2017, 19rspc2va 2882 . . . . . 6 (((𝐶𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
216, 1, 15, 20syl21anc 1248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
22 oveq2 5930 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
23 eqid 2196 . . . . . 6 (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
2422, 23fvmptg 5637 . . . . 5 (((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
251, 21, 24syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
26 simprl 529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
27 oveq2 5930 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑥))
2827eleq1d 2265 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆))
2917, 28rspc2va 2882 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑥𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
306, 26, 15, 29syl21anc 1248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
31 oveq2 5930 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
3231, 23fvmptg 5637 . . . . . 6 ((𝑥𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
3326, 30, 32syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
34 simprr 531 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
35 oveq2 5930 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑦))
3635eleq1d 2265 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
3717, 36rspc2va 2882 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑦𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
386, 34, 15, 37syl21anc 1248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
39 oveq2 5930 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
4039, 23fvmptg 5637 . . . . . 6 ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4134, 38, 40syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4233, 41oveq12d 5940 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
434, 25, 423eqtr4d 2239 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
445adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐶𝑆)
4514adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
46 oveq2 5930 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
4746eleq1d 2265 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐺𝑥) → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆))
4817, 47rspc2va 2882 . . . . . 6 (((𝐶𝑆 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆)
4944, 2, 45, 48syl21anc 1248 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆)
50 oveq2 5930 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
5150, 23fvmptg 5637 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
522, 49, 51syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
53 seq3distr.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
5452, 53eqtr4d 2232 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
5553, 49eqeltrd 2273 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
561, 2, 3, 43, 54, 55, 1seq3homo 10619 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
57 eqid 2196 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
58 eluzel2 9606 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
593, 58syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6057, 59, 2, 1seqf 10556 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
6160, 3ffvelcdmd 5698 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
627, 5, 61caovcld 6077 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ 𝑆)
63 oveq2 5930 . . . 4 (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6463, 23fvmptg 5637 . . 3 (((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6561, 62, 64syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6656, 65eqtr3d 2231 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2167  wral 2475  cmpt 4094  cfv 5258  (class class class)co 5922  cz 9326  cuz 9601  seqcseq 10539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540
This theorem is referenced by:  isermulc2  11505  fsummulc2  11613
  Copyright terms: Public domain W3C validator