ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3distr GIF version

Theorem seq3distr 10254
Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3distr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3distr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seq3distr.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seq3distr.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
seq3distr.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
seq3distr.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
seq3distr.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3distr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3distr
Dummy variables 𝑏 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3distr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 seq3distr.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3 seq3distr.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 seq3distr.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5 seq3distr.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑆)
65adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐶𝑆)
7 seq3distr.t . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
87ralrimivva 2491 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
9 oveq1 5749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑦))
109eleq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
11 oveq2 5750 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎𝑇𝑦) = (𝑎𝑇𝑏))
1211eleq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
1310, 12cbvral2v 2639 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑇𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
148, 13sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
16 oveq1 5749 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐶 → (𝑎𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑏))
1716eleq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆))
18 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
1918eleq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆))
2017, 19rspc2va 2777 . . . . . 6 (((𝐶𝑆 ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
216, 1, 15, 20syl21anc 1200 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆)
22 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
23 eqid 2117 . . . . . 6 (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
2422, 23fvmptg 5465 . . . . 5 (((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
251, 21, 24syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
26 simprl 505 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
27 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑥))
2827eleq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆))
2917, 28rspc2va 2777 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑥𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
306, 26, 15, 29syl21anc 1200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆)
31 oveq2 5750 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
3231, 23fvmptg 5465 . . . . . 6 ((𝑥𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑥) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
3326, 30, 32syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
34 simprr 506 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
35 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇𝑦))
3635eleq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆))
3717, 36rspc2va 2777 . . . . . . 7 (((𝐶𝑆𝑦𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
386, 34, 15, 37syl21anc 1200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆)
39 oveq2 5750 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
4039, 23fvmptg 5465 . . . . . 6 ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑇𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4134, 38, 40syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
4233, 41oveq12d 5760 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
434, 25, 423eqtr4d 2160 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
445adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐶𝑆)
4514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆)
46 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑏) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
4746eleq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐺𝑥) → ((𝐶𝑇𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆))
4817, 47rspc2va 2777 . . . . . 6 (((𝐶𝑆 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑆𝑏𝑆 (𝑎𝑇𝑏) ∈ 𝑆) → (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆)
4944, 2, 45, 48syl21anc 1200 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆)
50 oveq2 5750 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
5150, 23fvmptg 5465 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
522, 49, 51syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
53 seq3distr.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
5452, 53eqtr4d 2153 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
5553, 49eqeltrd 2194 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
561, 2, 3, 43, 54, 55, 1seq3homo 10251 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
57 eqid 2117 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
58 eluzel2 9299 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
593, 58syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6057, 59, 2, 1seqf 10202 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
6160, 3ffvelrnd 5524 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
627, 5, 61caovcld 5892 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ 𝑆)
63 oveq2 5750 . . . 4 (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6463, 23fvmptg 5465 . . 3 (((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ 𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6561, 62, 64syl2anc 408 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
6656, 65eqtr3d 2152 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  cmpt 3959  cfv 5093  (class class class)co 5742  cz 9022  cuz 9294  seqcseq 10186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187
This theorem is referenced by:  isermulc2  11077  fsummulc2  11185
  Copyright terms: Public domain W3C validator