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Theorem mulcncf 14130
Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncf.1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
mulcncf.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
mulcncf (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mulcncf
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑠 𝑑 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncf.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2 cncff 14103 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
54fmpt 5668 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
63, 5sylibr 134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
76r19.21bi 2565 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 mulcncf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
9 cncff 14103 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
11 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
1211fmpt 5668 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
1310, 12sylibr 134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
1413r19.21bi 2565 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
157, 14mulcld 7980 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
1615fmpttd 5673 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)):π‘‹βŸΆβ„‚)
17 simpr 110 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
18 simplr 528 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
196ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
20 rspcsbela 3118 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
2118, 19, 20syl2anc 411 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
2213ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
23 rspcsbela 3118 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
25 mulcn2 11322 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ∧ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
2617, 21, 24, 25syl3anc 1238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
271ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
28 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
2928ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
30 simprl 529 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ+)
31 cncfi 14104 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))
3227, 29, 30, 31syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))
338ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
34 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑔 ∈ ℝ+)
35 cncfi 14104 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))
3633, 29, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))
3736adantr 276 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))
3827ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
3933ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
4029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
41 simp-5r 544 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4230ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ+)
4334ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑔 ∈ ℝ+)
44 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
46 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
47 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))
49 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))
50 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑒(((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+))
51 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑒 𝑠 ∈ ℝ+
52 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘’βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓)
5351, 52nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑒(𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))
5450, 53nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑒((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓)))
55 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑒 𝑑 ∈ ℝ+
56 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘’βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔)
5755, 56nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑒(𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))
5854, 57nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑒(((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔)))
59 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘’βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)
6058, 59nfan 1565 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
6219ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚)
63 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
6522ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
66 rspcsbela 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
6761, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
68 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
69 fvoveq1 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) = (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)))
7069breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ ((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ↔ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓))
7170anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) ↔ ((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔)))
72 oveq1 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏))
7372fvoveq1d 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) = (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))))
7473breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ ((absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
7571, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 β†’ ((((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) ↔ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)))
76 fvoveq1 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) = (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)))
7776breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ ((absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔 ↔ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔))
7877anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) ↔ ((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔)))
79 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ (⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) = (⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡))
8079fvoveq1d 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) = (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))))
8180breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ ((absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
8278, 81imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 β†’ ((((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) ↔ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)))
8375, 82rspc2va 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ∧ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
8464, 67, 68, 83syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
8584ex 115 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑋 β†’ (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)))
8660, 85ralrimi 2548 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 (((absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒))
8738, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86mulcncflem 14129 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))
8887ex 115 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)β€˜π‘£))) < 𝑔))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒)))
8937, 88rexlimddv 2599 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑠 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)β€˜π‘£))) < 𝑓))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒)))
9032, 89rexlimddv 2599 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ 𝑔 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒)))
9190rexlimdvva 2602 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ž ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘Ž βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((π‘Ž Β· 𝑏) βˆ’ (⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐴 Β· ⦋𝑣 / π‘₯⦌𝐡))) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒)))
9226, 91mpd 13 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))
9392ralrimiva 2550 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))
9493ralrimiva 2550 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))
95 cncfrss 14101 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
961, 95syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
97 ssidd 3178 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
98 elcncf2 14100 . . 3 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))))
9996, 97, 98syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑋 βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) < 𝑑 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘’) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡))β€˜π‘£))) < 𝑒))))
10016, 94, 99mpbir2and 944 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  β¦‹csb 3059   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811   Β· cmul 7818   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130  β„+crp 9655  abscabs 11008  β€“cnβ†’ccncf 14096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-cncf 14097
This theorem is referenced by:  expcncf  14131
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