mulcncf - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulcncf 14762

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mulcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

**Assertion**
Ref	Expression
mulcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑋 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 14732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 5708	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	r19.21bi 2582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		cncff 14732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
11		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
12	11	fmpt 5708	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	r19.21bi 2582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7, 14	mulcld 8040	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	fmpttd 5713	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ)
17		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
18		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ 𝑋)
19	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
20		rspcsbela 3140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
22	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
23		rspcsbela 3140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
25		mulcn2 11455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
27	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 𝑣 ∈ 𝑋)
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑣 ∈ 𝑋)
30		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑓 ∈ ℝ⁺)
31		cncfi 14733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑠 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑠 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
33	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑔 ∈ ℝ⁺)
35		cncfi 14733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
38	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
39	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
40	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑣 ∈ 𝑋)
41		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
42	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑓 ∈ ℝ⁺)
43	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑔 ∈ ℝ⁺)
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → 𝑠 ∈ ℝ⁺)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑠 ∈ ℝ⁺)
46		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑡 ∈ ℝ⁺)
47		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
49		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
50		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢(((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺))
51		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑢 𝑠 ∈ ℝ⁺
52		nfra1 2525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)
53	51, 52	nfan 1576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢(𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
54	50, 53	nfan 1576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑢((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)))
55		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢 𝑡 ∈ ℝ⁺
56		nfra1 2525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)
57	55, 56	nfan 1576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑢(𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
58	54, 57	nfan 1576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑢(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)))
59		nfv 1539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)
60	58, 59	nfan 1576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
62	19	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
63		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
65	22	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
66		rspcsbela 3140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
67	61, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
68		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
69		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) = (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)))
70	69	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ↔ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓))
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔)))
72		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (𝑎 · 𝑏) = (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏))
73	72	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))))
74	73	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
76		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) = (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)))
77	76	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔 ↔ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔))
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔)))
79		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) = (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵))
80	79	fvoveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))))
81	80	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
83	75, 82	rspc2va 2878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑢 ∈ 𝑋 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
86	60, 85	ralrimi 2565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 14761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
89	37, 88	rexlimddv 2616	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
90	32, 89	rexlimddv 2616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
91	90	rexlimdvva 2619	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
93	92	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
94	93	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
95		cncfrss 14730	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
96	1, 95	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
97		ssidd 3200	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
98		elcncf2 14729	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
100	16, 94, 99	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ∀wral 2472 ∃wrex 2473 ⦋csb 3080 ⊆ wss 3153 class class class wbr 4029 ↦ cmpt 4090 ⟶wf 5250 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ℂcc 7870 · cmul 7877 < clt 8054 − cmin 8190 ℝ⁺crp 9719 abscabs 11141 –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-map 6704 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-rp 9720 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-cncf 14726

This theorem is referenced by: expcncf 14763 divcncfap 14768

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