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Theorem mulcncf 13758
Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncf.1 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
mulcncf.2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
mulcncf (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncf.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2 cncff 13731 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
54fmpt 5662 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
63, 5sylibr 134 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
76r19.21bi 2565 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcncf.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
9 cncff 13731 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
11 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
1211fmpt 5662 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
1310, 12sylibr 134 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
1413r19.21bi 2565 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
157, 14mulcld 7968 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1615fmpttd 5667 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ)
17 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
18 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑣𝑋)
196ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
20 rspcsbela 3116 . . . . . . 7 ((𝑣𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑣 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑣 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2213ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
23 rspcsbela 3116 . . . . . . 7 ((𝑣𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
25 mulcn2 11304 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑣 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
2617, 21, 24, 25syl3anc 1238 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
271ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
28 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑋) → 𝑣𝑋)
2928ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → 𝑣𝑋)
30 simprl 529 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ+)
31 cncfi 13732 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) ∧ 𝑣𝑋𝑓 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
3227, 29, 30, 31syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
338ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
34 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → 𝑔 ∈ ℝ+)
35 cncfi 13732 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ) ∧ 𝑣𝑋𝑔 ∈ ℝ+) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
3633, 29, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
3736adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
3827ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3933ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝑋cn→ℂ))
4029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑣𝑋)
41 simp-5r 544 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4230ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑓 ∈ ℝ+)
4334ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑔 ∈ ℝ+)
44 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
46 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
47 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
49 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
50 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢(((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+))
51 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑢 𝑠 ∈ ℝ+
52 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑢𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)
5351, 52nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢(𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
5450, 53nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13 𝑢((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)))
55 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢 𝑡 ∈ ℝ+
56 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)
5755, 56nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13 𝑢(𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
5854, 57nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12 𝑢(((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)))
59 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12 𝑢𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)
6058, 59nfan 1565 . . . . . . . . . . 11 𝑢((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6219ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
63 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑢 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
6522ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
66 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑢 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
6761, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
68 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
69 fvoveq1 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → (abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) = (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)))
7069breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → ((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ↔ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓))
7170anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔)))
72 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏))
7372fvoveq1d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) = (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))))
7473breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → ((abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
7571, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑢 / 𝑥𝐴 → ((((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)))
76 fvoveq1 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) = (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)))
7776breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → ((abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔 ↔ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔))
7877anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔)))
79 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → (𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) = (𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵))
8079fvoveq1d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) = (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))))
8180breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → ((abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
8278, 81imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑢 / 𝑥𝐵 → ((((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)))
8375, 82rspc2va 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑢 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
8464, 67, 68, 83syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢𝑋) → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
8584ex 115 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → (𝑢𝑋 → (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)))
8660, 85ralrimi 2548 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢𝑋 (((abs‘(𝑢 / 𝑥𝐴𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑢 / 𝑥𝐵𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑢 / 𝑥𝐴 · 𝑢 / 𝑥𝐵) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒))
8738, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86mulcncflem 13757 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
8887ex 115 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐵)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
8937, 88rexlimddv 2599 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥𝑋𝐴)‘𝑢) − ((𝑥𝑋𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
9032, 89rexlimddv 2599 . . . . . 6 ((((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+)) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
9190rexlimdvva 2602 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑓 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎𝑣 / 𝑥𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏𝑣 / 𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (𝑣 / 𝑥𝐴 · 𝑣 / 𝑥𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
9226, 91mpd 13 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
9392ralrimiva 2550 . . 3 ((𝜑𝑣𝑋) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
9493ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑣𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
95 cncfrss 13729 . . . 4 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
961, 95syl 14 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
97 ssidd 3176 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
98 elcncf2 13728 . . 3 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
9996, 97, 98syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣𝑋𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑢𝑋 ((abs‘(𝑢𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
10016, 94, 99mpbir2and 944 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  csb 3057  wss 3129   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118  +crp 9640  abscabs 10990  cnccncf 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-cncf 13725
This theorem is referenced by:  expcncf  13759
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