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Theorem mulcncf 15800

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mulcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
mulcncf.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

**Assertion**
Ref	Expression
mulcncf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑋 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mulcncf Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 15769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
5	4	fmpt 5858	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	r19.21bi 2638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		cncff 15769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
11		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
12	11	fmpt 5858	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℂ)
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	r19.21bi 2638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7, 14	mulcld 8347	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	fmpttd 5863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ)
17		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
18		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑣 ∈ 𝑋)
19	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
20		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
22	13	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
23		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
24	18, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
25		mulcn2 12097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
27	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 𝑣 ∈ 𝑋)
29	28	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑣 ∈ 𝑋)
30		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑓 ∈ ℝ⁺)
31		cncfi 15770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑠 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑠 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
33	8	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → 𝑔 ∈ ℝ⁺)
35		cncfi 15770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
38	27	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
39	33	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
40	29	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑣 ∈ 𝑋)
41		simp-5r 550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
42	30	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑓 ∈ ℝ⁺)
43	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑔 ∈ ℝ⁺)
44		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → 𝑠 ∈ ℝ⁺)
45	44	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑠 ∈ ℝ⁺)
46		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → 𝑡 ∈ ℝ⁺)
47		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
49		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
50		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢(((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺))
51		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑢 𝑠 ∈ ℝ⁺
52		nfra1 2581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)
53	51, 52	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢(𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))
54	50, 53	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑢((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓)))
55		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢 𝑡 ∈ ℝ⁺
56		nfra1 2581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)
57	55, 56	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑢(𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))
58	54, 57	nfan 1618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑢(((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔)))
59		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)
60	58, 59	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑢((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
62	19	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
63		rspcsbela 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐴 ∈ ℂ) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
64	61, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
65	22	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
66		rspcsbela 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
67	61, 65, 66	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
68		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
69		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) = (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)))
70	69	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ↔ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓))
71	70	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔)))
72		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (𝑎 · 𝑏) = (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏))
73	72	fvoveq1d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))))
74	73	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 → ((((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
76		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) = (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)))
77	76	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔 ↔ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔))
78	77	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) ↔ ((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔)))
79		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) = (⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵))
80	79	fvoveq1d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) = (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))))
81	80	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒 ↔ (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 → ((((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) ↔ (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
83	75, 82	rspc2va 2944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → (𝑢 ∈ 𝑋 → (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)))
86	60, 85	ralrimi 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒))
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 15799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) ∧ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑡 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)‘𝑣))) < 𝑔))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
89	37, 88	rexlimddv 2673	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑠 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑠 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)‘𝑣))) < 𝑓))) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
90	32, 89	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑓 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑔 ∈ ℝ⁺)) → (∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
91	90	rexlimdvva 2676	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∃𝑔 ∈ ℝ⁺ ∀𝑎 ∈ ℂ ∀𝑏 ∈ ℂ (((abs‘(𝑎 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴)) < 𝑓 ∧ (abs‘(𝑏 − ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝑎 · 𝑏) − (⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐴 · ⦋𝑣 / 𝑥⦌𝐵))) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒)))
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
93	92	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
94	93	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))
95		cncfrss 15767	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
96	1, 95	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
97		ssidd 3269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
98		elcncf2 15766	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
99	96, 97, 98	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)):𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑋 ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑢 − 𝑣)) < 𝑑 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑢) − ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵))‘𝑣))) < 𝑒))))
100	16, 94, 99	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 ∃wrex 2529 ⦋csb 3147 ⊆ wss 3220 class class class wbr 4130 ↦ cmpt 4192 ⟶wf 5373 ‘cfv 5377 (class class class)co 6085 ℂcc 8178 · cmul 8185 < clt 8361 − cmin 8499 ℝ⁺crp 10065 abscabs 11779 –cn→ccncf 15762

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-map 6924 df-sup 7325 df-inf 7326 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-n0 9569 df-z 9650 df-uz 9932 df-rp 10066 df-seqfrec 10900 df-exp 10991 df-cj 11623 df-re 11624 df-im 11625 df-rsqrt 11780 df-abs 11781 df-cncf 15763

This theorem is used by: expcncf 15801 divcncfap 15806

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