ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv GIF version

Theorem isocnv 5533
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5217 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
21adantr 270 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1ocnvfv2 5500 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
43adantrr 463 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
5 f1ocnvfv2 5500 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑤𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
65adantrl 462 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
74, 6breq12d 3827 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
87adantlr 461 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
9 f1of 5204 . . . . . . 7 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴𝐻:𝐵𝐴)
101, 9syl 14 . . . . . 6 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵𝐴)
11 ffvelrn 5380 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑧𝐵) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐴)
12 ffvelrn 5380 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑤𝐵) → (𝐻𝑤) ∈ 𝐴)
1311, 12anim12dan 565 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴))
14 breq1 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
15 fveq2 5256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐻𝑧)))
1615breq1d 3824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)))
1714, 16bibi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦))))
18 bicom 138 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
1917, 18syl6bb 194 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦)))
20 fveq2 5256 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐻𝑤)))
2120breq2d 3826 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤))))
22 breq2 3818 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2321, 22bibi12d 233 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
2419, 23rspc2va 2726 . . . . . . . 8 ((((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2513, 24sylan 277 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2625an32s 533 . . . . . 6 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2710, 26sylanl1 394 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
288, 27bitr3d 188 . . . 4 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2928ralrimivva 2451 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
302, 29jca 300 . 2 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
31 df-isom 4981 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
32 df-isom 4981 . 2 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
3330, 31, 323imtr4i 199 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355   class class class wbr 3814  ccnv 4403  wf 4968  1-1-ontowf1o 4971  cfv 4972   Isom wiso 4973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-isom 4981
This theorem is referenced by:  isores1  5536  isose  5542  isopo  5544  isoso  5546  isoti  6623  infrenegsupex  8991
  Copyright terms: Public domain W3C validator