Theorem uzdisj 10431

Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzdisj	⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2	1	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3		eluzle 9869	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
5		eluzel2 9861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
11	4, 10	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
12	1	simplbi 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
13		elfzle2 10365	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
15	8	zred 9703	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		peano2zm 9617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17	6, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18	17	zred 9703	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
19	15, 18	lenltd 8393	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘))
20	14, 19	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
21	11, 20	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
22	21	ssriv 3244	. 2 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅
23		ss0 3551	. 2 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅)
24	22, 23	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∩ cin 3212   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8130   < clt 8310   ≤ cle 8311   − cmin 8446  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856  ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  2prm  12828