ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0disj GIF version

Theorem nn0disj 10152
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3330 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 275 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 9554 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 9547 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 eluzelz 9551 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 9323 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 411 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 147 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 274 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 elfzle2 10042 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 9389 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 elfzel2 10037 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17sylbi 121 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918zred 9389 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2015, 19lenltd 8089 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 9390 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 pncan1 8348 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2193 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 4025 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 668 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 188 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 147 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 621 . . 3 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
3029ssriv 3171 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 3475 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  cin 3140  wss 3141  c0 3434   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   < clt 8006  cle 8007  cmin 8142  cz 9267  cuz 9542  ...cfz 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator