Theorem nn0disj 10346

Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0disj	⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
2	1	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
3		eluzle 9746	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5		eluzel2 9738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7		eluzelz 9743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
11	4, 10	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
12	1	simplbi 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13		elfzle2 10236	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≤ 𝑁)
15	8	zred 9580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		elfzel2 10231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	1, 17	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	zred 9580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	15, 19	lenltd 8275	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
21	18	zcnd 9581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		pncan1 8534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
25	24	breq1d 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
26	25	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
27	20, 26	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
28	14, 27	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
29	11, 28	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
30	29	ssriv 3228	. 2 ⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31		ss0 3532	. 2 ⊢ (((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 5	1 ⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by: (None)