ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0disj GIF version

Theorem nn0disj 10137
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3318 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 275 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 9539 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 9532 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 eluzelz 9536 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 9308 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 411 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 147 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 274 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 elfzle2 10027 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 9374 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 elfzel2 10022 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17sylbi 121 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918zred 9374 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2015, 19lenltd 8074 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 9375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 pncan1 8333 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2183 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 667 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 188 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 147 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 620 . . 3 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
3029ssriv 3159 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 3463 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  cin 3128  wss 3129  c0 3422   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7991  cle 7992  cmin 8127  cz 9252  cuz 9527  ...cfz 10007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator