Theorem ioodisj 10062

Description: If the upper bound of one open interval is less than or equal to the lower bound of the other, the intervals are disjoint. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ioodisj	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Proof of Theorem ioodisj

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		iooss1 9985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
3	1, 2	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
4		ioossicc 10028	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷)
5	3, 4	sstrdi 3192	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷))
6		sslin 3386	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐵[,]𝐷) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)))
8		simplll 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		simplrr 536	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10		df-ioo 9961	. . . . 5 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
11		df-icc 9964	. . . . 5 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		xrlenlt 8086	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
13	10, 11, 12	ixxdisj 9972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
14	8, 1, 9, 13	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐷)) = ∅)
15	7, 14	sseqtrd 3218	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅)
16		ss0 3488	. 2 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ⊆ ∅ → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)
17	15, 16	syl 14	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   ≤ cle 8057  (,)cioo 9957  [,]cicc 9960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-ioo 9961  df-icc 9964

This theorem is referenced by: (None)