Theorem nnnninfeq 7256

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
nnnninfeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nnnninfeq.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
nnnninfeq.0	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nnnninfeq

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
2		nninff 7250	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → 𝑃:ω⟶2o)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ω⟶2o)
4	3	ffnd 5446	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ω)
5		1lt2o 6551	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
7		0lt2o 6550	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
10		nnnninfeq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
12		nndcel 6609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑁)
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑁)
14	6, 8, 13	ifcldcd 3617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
15	14	ralrimiva 2581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
16		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
17	16	fnmpt 5422	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
18	15, 17	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
19		fveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘∅))
20		eleq1 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ ∅ ∈ 𝑁))
21	20	ifbid 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
22	19, 21	eqeq12d 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
23	22	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
24		fveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘𝑘))
25		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ 𝑘 ∈ 𝑁))
26	25	ifbid 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
27	24, 26	eqeq12d 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
28	27	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
29		fveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘suc 𝑘))
30		eleq1 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
31	30	ifbid 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
32	29, 31	eqeq12d 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
34		fveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘𝑗))
35		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ 𝑁))
36	35	ifbid 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
37	34, 36	eqeq12d 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
38	37	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
39		noel 3472	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
40		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → 𝑁 = ∅)
41	40	eleq2d 2277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (∅ ∈ 𝑁 ↔ ∅ ∈ ∅))
42	39, 41	mtbiri 677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → ¬ ∅ ∈ 𝑁)
43	42	iffalsed 3589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
44		nnnninfeq.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)
45	44	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘𝑁) = ∅)
46	40	fveq2d 5603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘∅))
47	43, 45, 46	3eqtr2rd 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
48		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘∅))
49	48	eqeq1d 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘∅) = 1o))
50		nnnninfeq.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
51	50	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
52		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∅ ∈ 𝑁)
53	49, 51, 52	rspcdva 2889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = 1o)
54	52	iftrued 3586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
55	53, 54	eqtr4d 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
56		0elnn 4685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
57	10, 56	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
58	47, 55, 57	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
59		fveq2 5599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = suc 𝑘 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘suc 𝑘))
60	59	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = 1o))
61	50	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → suc 𝑘 ∈ 𝑁)
63	60, 61, 62	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = 1o)
64	62	iftrued 3586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
65	63, 64	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
66	44	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘𝑁) = ∅)
67		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → suc 𝑘 = 𝑁)
68	67	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = (𝑃‘𝑁))
69	10	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → 𝑁 ∈ ω)
70		nnord 4678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
71		ordirr 4608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
72	69, 70, 71	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
74	67, 73	eqneltrd 2303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ suc 𝑘 ∈ 𝑁)
75	74	iffalsed 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
76	66, 68, 75	3eqtr4d 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
77		suceq 4467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → suc 𝑗 = suc 𝑘)
78	77	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑘))
79		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑘))
80	78, 79	sseq12d 3232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃‘𝑘)))
81	1	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑃 ∈ ℕ∞)
82		fveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
83		fveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
84	82, 83	sseq12d 3232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
85	84	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
86		df-nninf 7248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
87	85, 86	elrab2 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ ↔ (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
88	87	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
89	81, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
90		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑘 ∈ ω)
91	80, 89, 90	rspcdva 2889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃‘𝑘))
92		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
93		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
94		nnord 4678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
95		ordtr 4443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
96		trsucss 4488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Tr 𝑘 → (𝑁 ∈ suc 𝑘 → 𝑁 ⊆ 𝑘))
97	94, 95, 96	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝑁 ∈ suc 𝑘 → 𝑁 ⊆ 𝑘))
98	90, 93, 97	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ⊆ 𝑘)
99	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ ω)
100		nntri1 6605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑁 ⊆ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ∈ 𝑁))
101	99, 90, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑁 ⊆ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ∈ 𝑁))
102	98, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ 𝑘 ∈ 𝑁)
103	102	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
104	92, 103	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘𝑘) = ∅)
105	91, 104	sseqtrd 3239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅)
106		ss0 3509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅ → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
108		ordn2lp 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝑁 → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
109	99, 70, 108	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
110		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → suc 𝑘 ∈ 𝑁)
112	110, 111	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
113	109, 112	mtand 667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ suc 𝑘 ∈ 𝑁)
114	113	iffalsed 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
115	107, 114	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
116		peano2 4661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
117	116	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → suc 𝑘 ∈ ω)
118		nntri3or 6602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (suc 𝑘 ∈ 𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑁 ∈ suc 𝑘))
119	117, 69, 118	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (suc 𝑘 ∈ 𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑁 ∈ suc 𝑘))
120	65, 76, 115, 119	mpjao3dan 1320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
121	120	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
122	121	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
123	23, 28, 33, 38, 58, 122	finds 4666	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝜑 → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
124	123	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
125		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
126	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
127	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
128	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
129		nndcel 6609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑗 ∈ 𝑁)
130	125, 128, 129	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID 𝑗 ∈ 𝑁)
131	126, 127, 130	ifcldcd 3617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
132		eleq1w 2268	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ 𝑁))
133	132	ifbid 3601	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
134	133, 16	fvmptg 5678	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
135	125, 131, 134	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
136	124, 135	eqtr4d 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
137	4, 18, 136	eqfnfvd 5703	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  ifcif 3579   ↦ cmpt 4121  Tr wtr 4158  Ord word 4427  suc csuc 4430  ωcom 4656   Fn wfn 5285  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  1_oc1o 6518  2_oc2o 6519   ↑_𝑚 cmap 6758  ℕ_∞xnninf 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-map 6760  df-nninf 7248

This theorem is referenced by:  nnnninfeq2  7257  nninfisollem0  7258  nninfalllem1  16147  nninfsellemeq  16153