Theorem nnnninfeq 7318

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
nnnninfeq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nnnninfeq.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
nnnninfeq.0	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nnnninfeq

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
2		nninff 7312	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → 𝑃:ω⟶2o)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ω⟶2o)
4	3	ffnd 5480	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ω)
5		1lt2o 6605	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
7		0lt2o 6604	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
10		nnnninfeq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
12		nndcel 6663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑁)
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑁)
14	6, 8, 13	ifcldcd 3641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
15	14	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
16		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
17	16	fnmpt 5456	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
18	15, 17	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
19		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘∅))
20		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ ∅ ∈ 𝑁))
21	20	ifbid 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
22	19, 21	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
23	22	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
24		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘𝑘))
25		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ 𝑘 ∈ 𝑁))
26	25	ifbid 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
27	24, 26	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
28	27	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
29		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘suc 𝑘))
30		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
31	30	ifbid 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
32	29, 31	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
34		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (𝑃‘𝑤) = (𝑃‘𝑗))
35		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (𝑤 ∈ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ 𝑁))
36	35	ifbid 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
37	34, 36	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
38	37	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑤) = if(𝑤 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
39		noel 3496	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
40		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → 𝑁 = ∅)
41	40	eleq2d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (∅ ∈ 𝑁 ↔ ∅ ∈ ∅))
42	39, 41	mtbiri 679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → ¬ ∅ ∈ 𝑁)
43	42	iffalsed 3613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
44		nnnninfeq.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)
45	44	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘𝑁) = ∅)
46	40	fveq2d 5639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘∅))
47	43, 45, 46	3eqtr2rd 2269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
48		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘∅))
49	48	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘∅) = 1o))
50		nnnninfeq.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
51	50	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
52		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∅ ∈ 𝑁)
53	49, 51, 52	rspcdva 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = 1o)
54	52	iftrued 3610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
55	53, 54	eqtr4d 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
56		0elnn 4715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
57	10, 56	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
58	47, 55, 57	mpjaodan 803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
59		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = suc 𝑘 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘suc 𝑘))
60	59	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = 1o))
61	50	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → suc 𝑘 ∈ 𝑁)
63	60, 61, 62	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = 1o)
64	62	iftrued 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
65	63, 64	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
66	44	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘𝑁) = ∅)
67		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → suc 𝑘 = 𝑁)
68	67	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = (𝑃‘𝑁))
69	10	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → 𝑁 ∈ ω)
70		nnord 4708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
71		ordirr 4638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
72	69, 70, 71	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ 𝑁)
74	67, 73	eqneltrd 2325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ suc 𝑘 ∈ 𝑁)
75	74	iffalsed 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
76	66, 68, 75	3eqtr4d 2272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
77		suceq 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → suc 𝑗 = suc 𝑘)
78	77	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑘))
79		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑘))
80	78, 79	sseq12d 3256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃‘𝑘)))
81	1	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑃 ∈ ℕ∞)
82		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
83		fveq1 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
84	82, 83	sseq12d 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
85	84	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
86		df-nninf 7310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
87	85, 86	elrab2 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ ↔ (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
88	87	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
89	81, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
90		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑘 ∈ ω)
91	80, 89, 90	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃‘𝑘))
92		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
93		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
94		nnord 4708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
95		ordtr 4473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
96		trsucss 4518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Tr 𝑘 → (𝑁 ∈ suc 𝑘 → 𝑁 ⊆ 𝑘))
97	94, 95, 96	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝑁 ∈ suc 𝑘 → 𝑁 ⊆ 𝑘))
98	90, 93, 97	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ⊆ 𝑘)
99	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ ω)
100		nntri1 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑁 ⊆ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ∈ 𝑁))
101	99, 90, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑁 ⊆ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ∈ 𝑁))
102	98, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ 𝑘 ∈ 𝑁)
103	102	iffalsed 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
104	92, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘𝑘) = ∅)
105	91, 104	sseqtrd 3263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅)
106		ss0 3533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅ → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
108		ordn2lp 4641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝑁 → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
109	99, 70, 108	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
110		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → suc 𝑘 ∈ 𝑁)
112	110, 111	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘 ∈ 𝑁))
113	109, 112	mtand 669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ suc 𝑘 ∈ 𝑁)
114	113	iffalsed 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
115	107, 114	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
116		peano2 4691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
117	116	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → suc 𝑘 ∈ ω)
118		nntri3or 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (suc 𝑘 ∈ 𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑁 ∈ suc 𝑘))
119	117, 69, 118	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (suc 𝑘 ∈ 𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑁 ∈ suc 𝑘))
120	65, 76, 115, 119	mpjao3dan 1341	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
121	120	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
122	121	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) → (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
123	23, 28, 33, 38, 58, 122	finds 4696	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝜑 → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
124	123	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑃‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
125		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
126	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
127	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
128	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
129		nndcel 6663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑗 ∈ 𝑁)
130	125, 128, 129	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID 𝑗 ∈ 𝑁)
131	126, 127, 130	ifcldcd 3641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
132		eleq1w 2290	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑗 ∈ 𝑁))
133	132	ifbid 3625	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
134	133, 16	fvmptg 5718	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
135	125, 131, 134	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
136	124, 135	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
137	4, 18, 136	eqfnfvd 5743	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ifcif 3603   ↦ cmpt 4148  Tr wtr 4185  Ord word 4457  suc csuc 4460  ωcom 4686   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   ↑_𝑚 cmap 6812  ℕ_∞xnninf 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1o 6577  df-2o 6578  df-map 6814  df-nninf 7310

This theorem is referenced by:  nnnninfeq2  7319  nninfisollem0  7320  nninfalllem1  16546  nninfsellemeq  16552