Theorem f00 5559

Description: A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f00	⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem f00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 5511	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → Fun 𝐹)
2		frn 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → ran 𝐹 ⊆ ∅)
3		ss0 3549	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ∅ → ran 𝐹 = ∅)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → ran 𝐹 = ∅)
5		dm0rn0 4973	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → dom 𝐹 = ∅)
7		df-fn 5355	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = ∅))
8	1, 6, 7	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐹 Fn ∅)
9		fn0 5478	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
10	8, 9	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐹 = ∅)
11		fdm 5514	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → dom 𝐹 = 𝐴)
12	11, 6	eqtr3d 2267	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
13	10, 12	jca 306	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ → (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14		f0 5558	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
15		feq1 5491	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ ∅:𝐴⟶∅))
16		feq2 5492	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅:𝐴⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
17	15, 16	sylan9bb 462	. . 3 ⊢ ((𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
18	14, 17	mpbiri 168	. 2 ⊢ ((𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐹:𝐴⟶∅)
19	13, 18	impbii 126	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  dom cdm 4749  ran crn 4750  Fun wfun 5346   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356

This theorem is referenced by:  dom0  7091  0wrd0  11250  uhgr0vb  16079  wlkv0  16364  gfsumval  16862