Theorem php5dom 6933

Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5dom	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem php5dom

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4438	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
3	1, 2	breq12d 4047	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
4	3	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5		suceq 4438	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → 𝑤 = 𝑘)
7	5, 6	breq12d 4047	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
8	7	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
9		suceq 4438	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → 𝑤 = suc 𝑘)
11	9, 10	breq12d 4047	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
12	11	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13		suceq 4438	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → 𝑤 = 𝐴)
15	13, 14	breq12d 4047	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
16	15	notbid 668	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
17		peano1 4631	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
18		php5 6928	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc ∅
20		0ex 4161	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	domen 6819	. . . . 5 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅))
22		ss0 3492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23		en0 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25		entr 6852	. . . . . . 7 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
26	24, 25	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
27	26	exlimiv 1612	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
28	21, 27	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
29	28	ensymd 6851	. . 3 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
30	19, 29	mto 663	. 2 ⊢ ¬ suc ∅ ≼ ∅
31		peano2 4632	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32		phplem4dom 6932	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
33	31, 32	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
34	33	con3d 632	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
35	4, 8, 12, 16, 30, 34	finds 4637	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  suc csuc 4401  ωcom 4627   ≈ cen 6806   ≼ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  nndomo  6934  phpm  6935  infnfi  6965