ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5dom GIF version

Theorem php5dom 6865
Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5dom (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)

Proof of Theorem php5dom
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4404 . . . 4 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2 id 19 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
31, 2breq12d 4018 . . 3 (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
43notbid 667 . 2 (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5 suceq 4404 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝑘𝑤 = 𝑘)
75, 6breq12d 4018 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝑘𝑘))
87notbid 667 . 2 (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘𝑘))
9 suceq 4404 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10 id 19 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘𝑤 = suc 𝑘)
119, 10breq12d 4018 . . 3 (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
1211notbid 667 . 2 (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13 suceq 4404 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝐴𝑤 = 𝐴)
1513, 14breq12d 4018 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝐴𝐴))
1615notbid 667 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴𝐴))
17 peano1 4595 . . . 4 ∅ ∈ ω
18 php5 6860 . . . 4 (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ¬ ∅ ≈ suc ∅
20 0ex 4132 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2120domen 6753 . . . . 5 (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅))
22 ss0 3465 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23 en0 6797 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
2422, 23sylibr 134 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25 entr 6786 . . . . . . 7 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2624, 25sylan2 286 . . . . . 6 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2726exlimiv 1598 . . . . 5 (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2821, 27sylbi 121 . . . 4 (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
2928ensymd 6785 . . 3 (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
3019, 29mto 662 . 2 ¬ suc ∅ ≼ ∅
31 peano2 4596 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32 phplem4dom 6864 . . . 4 ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3331, 32mpancom 422 . . 3 (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3433con3d 631 . 2 (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
354, 8, 12, 16, 30, 34finds 4601 1 (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wss 3131  c0 3424   class class class wbr 4005  suc csuc 4367  ωcom 4591  cen 6740  cdom 6741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744
This theorem is referenced by:  nndomo  6866  phpm  6867  infnfi  6897
  Copyright terms: Public domain W3C validator