Theorem php5dom 7044

Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5dom	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem php5dom

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4497	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
3	1, 2	breq12d 4099	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
4	3	notbid 671	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5		suceq 4497	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → 𝑤 = 𝑘)
7	5, 6	breq12d 4099	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
8	7	notbid 671	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
9		suceq 4497	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → 𝑤 = suc 𝑘)
11	9, 10	breq12d 4099	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
12	11	notbid 671	. 2 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13		suceq 4497	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → 𝑤 = 𝐴)
15	13, 14	breq12d 4099	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
16	15	notbid 671	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
17		peano1 4690	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
18		php5 7039	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc ∅
20		0ex 4214	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	domen 6917	. . . . 5 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅))
22		ss0 3533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23		en0 6964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25		entr 6953	. . . . . . 7 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
26	24, 25	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
27	26	exlimiv 1644	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
28	21, 27	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
29	28	ensymd 6952	. . 3 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
30	19, 29	mto 666	. 2 ⊢ ¬ suc ∅ ≼ ∅
31		peano2 4691	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32		phplem4dom 7043	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
33	31, 32	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
34	33	con3d 634	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
35	4, 8, 12, 16, 30, 34	finds 4696	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492   class class class wbr 4086  suc csuc 4460  ωcom 4686   ≈ cen 6902   ≼ cdom 6903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  nndomo  7045  phpm  7047  infnfi  7077