ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5dom GIF version

Theorem php5dom 6924
Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5dom (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)

Proof of Theorem php5dom
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4437 . . . 4 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2 id 19 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
31, 2breq12d 4046 . . 3 (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
43notbid 668 . 2 (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5 suceq 4437 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝑘𝑤 = 𝑘)
75, 6breq12d 4046 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝑘𝑘))
87notbid 668 . 2 (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘𝑘))
9 suceq 4437 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10 id 19 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘𝑤 = suc 𝑘)
119, 10breq12d 4046 . . 3 (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
1211notbid 668 . 2 (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13 suceq 4437 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝐴𝑤 = 𝐴)
1513, 14breq12d 4046 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝐴𝐴))
1615notbid 668 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴𝐴))
17 peano1 4630 . . . 4 ∅ ∈ ω
18 php5 6919 . . . 4 (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
1917, 18ax-mp 5 . . 3 ¬ ∅ ≈ suc ∅
20 0ex 4160 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2120domen 6810 . . . . 5 (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅))
22 ss0 3491 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23 en0 6854 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
2422, 23sylibr 134 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25 entr 6843 . . . . . . 7 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2624, 25sylan2 286 . . . . . 6 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2726exlimiv 1612 . . . . 5 (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2821, 27sylbi 121 . . . 4 (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
2928ensymd 6842 . . 3 (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
3019, 29mto 663 . 2 ¬ suc ∅ ≼ ∅
31 peano2 4631 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32 phplem4dom 6923 . . . 4 ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3331, 32mpancom 422 . . 3 (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3433con3d 632 . 2 (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
354, 8, 12, 16, 30, 34finds 4636 1 (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wex 1506  wcel 2167  wss 3157  c0 3450   class class class wbr 4033  suc csuc 4400  ωcom 4626  cen 6797  cdom 6798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801
This theorem is referenced by:  nndomo  6925  phpm  6926  infnfi  6956
  Copyright terms: Public domain W3C validator