Theorem php5dom 6866

Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5dom	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem php5dom

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4404	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
3	1, 2	breq12d 4018	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
4	3	notbid 667	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5		suceq 4404	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → 𝑤 = 𝑘)
7	5, 6	breq12d 4018	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
8	7	notbid 667	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘))
9		suceq 4404	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → 𝑤 = suc 𝑘)
11	9, 10	breq12d 4018	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
12	11	notbid 667	. 2 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13		suceq 4404	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → 𝑤 = 𝐴)
15	13, 14	breq12d 4018	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
16	15	notbid 667	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤 ≼ 𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴))
17		peano1 4595	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
18		php5 6861	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≈ suc ∅
20		0ex 4132	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	domen 6754	. . . . 5 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅))
22		ss0 3465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23		en0 6798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25		entr 6787	. . . . . . 7 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
26	24, 25	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
27	26	exlimiv 1598	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
28	21, 27	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
29	28	ensymd 6786	. . 3 ⊢ (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
30	19, 29	mto 662	. 2 ⊢ ¬ suc ∅ ≼ ∅
31		peano2 4596	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32		phplem4dom 6865	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
33	31, 32	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘 ≼ 𝑘))
34	33	con3d 631	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘 ≼ 𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
35	4, 8, 12, 16, 30, 34	finds 4601	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴 ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  suc csuc 4367  ωcom 4591   ≈ cen 6741   ≼ cdom 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745

This theorem is referenced by:  nndomo  6867  phpm  6868  infnfi  6898