ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5dom GIF version

Theorem php5dom 6559
Description: A natural number does not dominate its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5dom (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)

Proof of Theorem php5dom
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4220 . . . 4 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2 id 19 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
31, 2breq12d 3850 . . 3 (𝑤 = ∅ → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc ∅ ≼ ∅))
43notbid 627 . 2 (𝑤 = ∅ → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc ∅ ≼ ∅))
5 suceq 4220 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
6 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝑘𝑤 = 𝑘)
75, 6breq12d 3850 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝑘𝑘))
87notbid 627 . 2 (𝑤 = 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘𝑘))
9 suceq 4220 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
10 id 19 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘𝑤 = suc 𝑘)
119, 10breq12d 3850 . . 3 (𝑤 = suc 𝑘 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
1211notbid 627 . 2 (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
13 suceq 4220 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
14 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝐴𝑤 = 𝐴)
1513, 14breq12d 3850 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (suc 𝑤𝑤 ↔ suc 𝐴𝐴))
1615notbid 627 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (¬ suc 𝑤𝑤 ↔ ¬ suc 𝐴𝐴))
17 peano1 4399 . . . 4 ∅ ∈ ω
18 php5 6554 . . . 4 (∅ ∈ ω → ¬ ∅ ≈ suc ∅)
1917, 18ax-mp 7 . . 3 ¬ ∅ ≈ suc ∅
20 0ex 3958 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2120domen 6448 . . . . 5 (suc ∅ ≼ ∅ ↔ ∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅))
22 ss0 3320 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 = ∅)
23 en0 6492 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
2422, 23sylibr 132 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ∅ → 𝑥 ≈ ∅)
25 entr 6481 . . . . . . 7 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ≈ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2624, 25sylan2 280 . . . . . 6 ((suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2726exlimiv 1534 . . . . 5 (∃𝑥(suc ∅ ≈ 𝑥𝑥 ⊆ ∅) → suc ∅ ≈ ∅)
2821, 27sylbi 119 . . . 4 (suc ∅ ≼ ∅ → suc ∅ ≈ ∅)
2928ensymd 6480 . . 3 (suc ∅ ≼ ∅ → ∅ ≈ suc ∅)
3019, 29mto 623 . 2 ¬ suc ∅ ≼ ∅
31 peano2 4400 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
32 phplem4dom 6558 . . . 4 ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3331, 32mpancom 413 . . 3 (𝑘 ∈ ω → (suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘 → suc 𝑘𝑘))
3433con3d 596 . 2 (𝑘 ∈ ω → (¬ suc 𝑘𝑘 → ¬ suc suc 𝑘 ≼ suc 𝑘))
354, 8, 12, 16, 30, 34finds 4405 1 (𝐴 ∈ ω → ¬ suc 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  wss 2997  c0 3284   class class class wbr 3837  suc csuc 4183  ωcom 4395  cen 6435  cdom 6436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439
This theorem is referenced by:  nndomo  6560  phpm  6561  infnfi  6591
  Copyright terms: Public domain W3C validator