Theorem mopntopon 13083

Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopntopon	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnval 13082	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3		blbas 13073	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4		tgtopon 12706	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
6		unirnbl 13063	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
7	6	fveq2d 5490	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
8	5, 7	eleqtrd 2245	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
9	2, 8	eqeltrd 2243	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∪ cuni 3789  ran crn 4605  ‘cfv 5188  topGenctg 12571  ∞Metcxmet 12620  ballcbl 12622  MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648  TopBasesctb 12680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  mopntop  13084  mopnuni  13085  mopnm  13088  mopnss  13090  isxms2  13092  xmettx  13150  metcnp3  13151  metcn  13154  metcnpi  13155  metcnpi2  13156  metcnpi3  13157  txmetcn  13159  cntoptopon  13172