Theorem xmettri2 14681

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 14663	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
2		relelfvdm 5593	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4		isxmet 14665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
6	5	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
8	7	2ralimi 2561	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
9	6, 8	simpl2im 386	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
11		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷𝐴))
12	11	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
13	10, 12	breq12d 4047	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
14		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐵))
15		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐵))
16	15	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)))
17	14, 16	breq12d 4047	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵))))
18		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
19		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
20	18, 19	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
21	20	breq2d 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
22	13, 17, 21	rspc3v 2884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
23	9, 22	syl5 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
24	23	3comr 1213	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
25	24	impcom 125	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4034   × cxp 4662  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  ℝ^*cxr 8077   ≤ cle 8079   +_𝑒 cxad 9862  ∞Metcxmet 14168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-xmet 14176

This theorem is referenced by:  mettri2  14682  xmetge0  14685  xmetsym  14688  xmetpsmet  14689  xmettri  14692  xmetres2  14699  xblss2  14725  xmstri2  14790  comet  14819  xmetxp  14827