ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 GIF version

Theorem xmettri2 13900
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13882 . . . . . . . 8 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5549 . . . . . . . 8 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 isxmet 13884 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
65ibi 176 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
7 simpr 110 . . . . . 6 ((((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
872ralimi 2541 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
96, 8simpl2im 386 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10 oveq1 5884 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
11 oveq2 5885 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (𝑧𝐷𝐴))
1211oveq1d 5892 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1310, 12breq12d 4018 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
14 oveq2 5885 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐡))
15 oveq2 5885 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐡))
1615oveq2d 5893 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)))
1714, 16breq12d 4018 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡))))
18 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐢 β†’ (𝑧𝐷𝐴) = (𝐢𝐷𝐴))
19 oveq1 5884 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐢 β†’ (𝑧𝐷𝐡) = (𝐢𝐷𝐡))
2018, 19oveq12d 5895 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
2120breq2d 4017 . . . . 5 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
2213, 17, 21rspc3v 2859 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
239, 22syl5 32 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
24233comr 1211 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
2524impcom 125 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  dom cdm 4628  Rel wrel 4633  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  β„*cxr 7993   ≀ cle 7995   +𝑒 cxad 9772  βˆžMetcxmet 13479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-xmet 13487
This theorem is referenced by:  mettri2  13901  xmetge0  13904  xmetsym  13907  xmetpsmet  13908  xmettri  13911  xmetres2  13918  xblss2  13944  xmstri2  14009  comet  14038  xmetxp  14046
  Copyright terms: Public domain W3C validator