ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 GIF version

Theorem xmettri2 13754
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13736 . . . . . . . 8 Rel ∞Met
2 relelfvdm 5547 . . . . . . . 8 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 isxmet 13738 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
65ibi 176 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
7 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
872ralimi 2541 . . . . 5 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
96, 8simpl2im 386 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
11 oveq2 5882 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷𝐴))
1211oveq1d 5889 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1310, 12breq12d 4016 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
14 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐵))
15 oveq2 5882 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐵))
1615oveq2d 5890 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)))
1714, 16breq12d 4016 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵))))
18 oveq1 5881 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
19 oveq1 5881 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
2018, 19oveq12d 5892 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
2120breq2d 4015 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2213, 17, 21rspc3v 2857 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
239, 22syl5 32 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
24233comr 1211 . 2 ((𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
2524impcom 125 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4003   × cxp 4624  dom cdm 4626  Rel wrel 4631  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  *cxr 7989  cle 7991   +𝑒 cxad 9768  ∞Metcxmet 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-xmet 13339
This theorem is referenced by:  mettri2  13755  xmetge0  13758  xmetsym  13761  xmetpsmet  13762  xmettri  13765  xmetres2  13772  xblss2  13798  xmstri2  13863  comet  13892  xmetxp  13900
  Copyright terms: Public domain W3C validator