Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blf GIF version

Theorem blf 12638
 Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blf (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem blf
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3188 . . . . . 6 {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋
2 xmetrel 12571 . . . . . . . 8 Rel ∞Met
3 relelfvdm 5462 . . . . . . . 8 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
42, 3mpan 421 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5 elpw2g 4090 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met → ({𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
64, 5syl 14 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ({𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
71, 6mpbiri 167 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
87a1d 22 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋))
98ralrimivv 2517 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ* {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
10 eqid 2140 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) = (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟})
1110fmpo 6108 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ* {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
129, 11sylib 121 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
13 blfval 12614 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
1413feq1d 5268 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋))
1512, 14mpbird 166 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {crab 2421   ⊆ wss 3077  𝒫 cpw 3516   class class class wbr 3938   × cxp 4546  dom cdm 4548  Rel wrel 4553  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  ℝ*cxr 7843   < clt 7844  ∞Metcxmet 12208  ballcbl 12210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-map 6553  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-bl 12218 This theorem is referenced by:  blrn  12640  blelrn  12648  blssm  12649  unirnbl  12651  blin2  12660  xmettx  12738
 Copyright terms: Public domain W3C validator