Theorem blf 14589

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem blf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3265	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋
2		xmetrel 14522	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5587	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		elpw2g 4186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
7	1, 6	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋))
9	8	ralrimivv 2575	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
10		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟})
11	10	fmpo 6256	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
12	9, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
13		blfval 14565	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
14	13	feq1d 5391	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋))
15	12, 14	mpbird 167	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602   class class class wbr 4030   × cxp 4658  dom cdm 4660  Rel wrel 4665  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  ∞Metcxmet 14035  ballcbl 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045

This theorem is referenced by:  blrn  14591  blelrn  14599  blssm  14600  unirnbl  14602  blin2  14611  xmettx  14689