Theorem blf 14957

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem blf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3282	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋
2		xmetrel 14890	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5621	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		elpw2g 4208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
7	1, 6	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
8	7	a1d 22	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋))
9	8	ralrimivv 2588	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
10		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟})
11	10	fmpo 6300	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
12	9, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
13		blfval 14933	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
14	13	feq1d 5422	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋))
15	12, 14	mpbird 167	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {crab 2489   ⊆ wss 3170  𝒫 cpw 3621   class class class wbr 4051   × cxp 4681  dom cdm 4683  Rel wrel 4688  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957   ∈ cmpo 5959  ℝ^*cxr 8126   < clt 8127  ∞Metcxmet 14373  ballcbl 14375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-bl 14383

This theorem is referenced by:  blrn  14959  blelrn  14967  blssm  14968  unirnbl  14970  blin2  14979  xmettx  15057