Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopnval GIF version

Theorem mopnval 12625
 Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object (MetOpen‘𝐷) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric 𝐷. By mopntop 12627, the open sets of a metric space form a topology 𝐽, whose base set is ∪ 𝐽 by mopnuni 12628. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopnval (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Proof of Theorem mopnval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 df-mopn 12174 . . 3 MetOpen = (𝑑 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
3 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (ball‘𝑑) = (ball‘𝐷))
43rneqd 4768 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ran (ball‘𝑑) = ran (ball‘𝐷))
54fveq2d 5425 . . 3 (𝑑 = 𝐷 → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
6 xmetrel 12526 . . . . . . . 8 Rel ∞Met
7 relelfvdm 5453 . . . . . . . 8 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
86, 7mpan 420 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
98elexd 2699 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 fvssunirng 5436 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) ⊆ ran ∞Met)
119, 10syl 14 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) ⊆ ran ∞Met)
1211sseld 3096 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ran ∞Met))
1312pm2.43i 49 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ran ∞Met)
14 blbas 12616 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
15 tgcl 12247 . . . 4 (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
1614, 15syl 14 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
172, 5, 13, 16fvmptd3 5514 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
181, 17syl5eq 2184 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  dom cdm 4539  ran crn 4540  Rel wrel 4544  ‘cfv 5123  topGenctg 12149  ∞Metcxmet 12163  ballcbl 12165  MetOpencmopn 12168  Topctop 12178  TopBasesctb 12223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-bases 12224 This theorem is referenced by:  mopntopon  12626  elmopn  12629  blssopn  12668  metss  12677  xmettxlem  12692  xmettx  12693  metcnp3  12694  tgioo  12729
 Copyright terms: Public domain W3C validator