Theorem mopnval 13082

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object (MetOpen‘𝐷) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric 𝐷. By mopntop 13084, the open sets of a metric space form a topology 𝐽, whose base set is ∪ 𝐽 by mopnuni 13085. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		df-mopn 12631	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
3		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ball‘𝑑) = (ball‘𝐷))
4	3	rneqd 4833	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ran (ball‘𝑑) = ran (ball‘𝐷))
5	4	fveq2d 5490	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
6		xmetrel 12983	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
7		relelfvdm 5518	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	6, 7	mpan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9	8	elexd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		fvssunirng 5501	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
12	11	sseld 3141	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met))
13	12	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
14		blbas 13073	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
15		tgcl 12704	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5579	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
18	1, 17	syl5eq 2211	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∪ cuni 3789  dom cdm 4604  ran crn 4605  Rel wrel 4609  ‘cfv 5188  topGenctg 12571  ∞Metcxmet 12620  ballcbl 12622  MetOpencmopn 12625  Topctop 12635  TopBasesctb 12680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  mopntopon  13083  elmopn  13086  blssopn  13125  metss  13134  xmettxlem  13149  xmettx  13150  metcnp3  13151  tgioo  13186