Theorem mopnval 14678

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object (MetOpen‘𝐷) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric 𝐷. By mopntop 14680, the open sets of a metric space form a topology 𝐽, whose base set is ∪ 𝐽 by mopnuni 14681. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		df-mopn 14103	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
3		fveq2 5558	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ball‘𝑑) = (ball‘𝐷))
4	3	rneqd 4895	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ran (ball‘𝑑) = ran (ball‘𝐷))
5	4	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
6		xmetrel 14579	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
7		relelfvdm 5590	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9	8	elexd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		fvssunirng 5573	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
12	11	sseld 3182	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met))
13	12	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
14		blbas 14669	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
15		tgcl 14300	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5655	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
18	1, 17	eqtrid 2241	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∪ cuni 3839  dom cdm 4663  ran crn 4664  Rel wrel 4668  ‘cfv 5258  topGenctg 12925  ∞Metcxmet 14092  ballcbl 14094  MetOpencmopn 14097  Topctop 14233  TopBasesctb 14278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-bases 14279

This theorem is referenced by:  mopntopon  14679  elmopn  14682  blssopn  14721  metss  14730  xmettxlem  14745  xmettx  14746  metcnp3  14747  tgioo  14790