Theorem mopnval 14984

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object (MetOpen‘𝐷) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric 𝐷. By mopntop 14986, the open sets of a metric space form a topology 𝐽, whose base set is ∪ 𝐽 by mopnuni 14987. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		df-mopn 14379	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
3		fveq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ball‘𝑑) = (ball‘𝐷))
4	3	rneqd 4915	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ran (ball‘𝑑) = ran (ball‘𝐷))
5	4	fveq2d 5592	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
6		xmetrel 14885	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
7		relelfvdm 5620	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9	8	elexd 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		fvssunirng 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
12	11	sseld 3196	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met))
13	12	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
14		blbas 14975	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
15		tgcl 14606	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5685	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
18	1, 17	eqtrid 2251	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∪ cuni 3855  dom cdm 4682  ran crn 4683  Rel wrel 4687  ‘cfv 5279  topGenctg 13156  ∞Metcxmet 14368  ballcbl 14370  MetOpencmopn 14373  Topctop 14539  TopBasesctb 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-map 6749  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-xneg 9909  df-xadd 9910  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-topgen 13162  df-psmet 14375  df-xmet 14376  df-bl 14378  df-mopn 14379  df-top 14540  df-bases 14585

This theorem is referenced by:  mopntopon  14985  elmopn  14988  blssopn  15027  metss  15036  xmettxlem  15051  xmettx  15052  metcnp3  15053  tgioo  15096