Theorem mopnval 12600

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object (MetOpen‘𝐷) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric 𝐷. By mopntop 12602, the open sets of a metric space form a topology 𝐽, whose base set is ∪ 𝐽 by mopnuni 12603. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		df-mopn 12149	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
3		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (ball‘𝑑) = (ball‘𝐷))
4	3	rneqd 4763	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ran (ball‘𝑑) = ran (ball‘𝐷))
5	4	fveq2d 5418	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
6		xmetrel 12501	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∞Met
7		relelfvdm 5446	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8	6, 7	mpan 420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9	8	elexd 2694	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		fvssunirng 5429	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) ⊆ ∪ ran ∞Met)
12	11	sseld 3091	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met))
13	12	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
14		blbas 12591	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
15		tgcl 12222	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ Top)
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5507	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
18	1, 17	syl5eq 2182	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  ∪ cuni 3731  dom cdm 4534  ran crn 4535  Rel wrel 4539  ‘cfv 5118  topGenctg 12124  ∞Metcxmet 12138  ballcbl 12140  MetOpencmopn 12143  Topctop 12153  TopBasesctb 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-bases 12199

This theorem is referenced by:  mopntopon  12601  elmopn  12604  blssopn  12643  metss  12652  xmettxlem  12667  xmettx  12668  metcnp3  12669  tgioo  12704