Theorem 1ellim 8499

Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 1ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6422	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6373	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2985	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8490	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6373	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2985	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		limord 6423	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10		ord1eln01 8497	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
12	4, 8, 11	mpbir2and 726	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  Ord word 6360  Lim wlim 6362  1_oc1o 8462

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-1o 8469

This theorem is used by:  1onn  8642  r12  35715