Theorem 1ellim 8519

Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 1ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6430	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6383	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2959	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8510	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6383	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2959	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		limord 6431	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10		ord1eln01 8517	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
12	4, 8, 11	mpbir2and 711	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322  Ord word 6370  Lim wlim 6372  1_oc1o 8480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-1o 8487

This theorem is referenced by:  1onn  8661