MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1ellim 8497
Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1ellim (Lim 𝐴 → 1o𝐴)

Proof of Theorem 1ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6423 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6376 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 326 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2970 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 nlim1 8488 . . . 4 ¬ Lim 1o
6 limeq 6376 . . . 4 (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
75, 6mtbiri 326 . . 3 (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
87necon2ai 2970 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 1o)
9 limord 6424 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10 ord1eln01 8495 . . 3 (Ord 𝐴 → (1o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
119, 10syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (1o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
124, 8, 11mpbir2and 711 1 (Lim 𝐴 → 1o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  c0 4322  Ord word 6363  Lim wlim 6365  1oc1o 8458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-1o 8465
This theorem is referenced by:  1onn  8638
  Copyright terms: Public domain W3C validator