Theorem 1ellim 8479

Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 1ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6421	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6372	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2987	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8470	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6372	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2987	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		limord 6422	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10		ord1eln01 8477	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
12	4, 8, 11	mpbir2and 725	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  Ord word 6359  Lim wlim 6361  1_oc1o 8442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-1o 8449

This theorem is referenced by:  1onn  8622  r12  35488