Theorem 1ellim 8515

Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 1ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6417	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6369	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2962	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8506	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6369	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2962	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		limord 6418	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10		ord1eln01 8513	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
12	4, 8, 11	mpbir2and 713	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313  Ord word 6356  Lim wlim 6358  1_oc1o 8478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-1o 8485

This theorem is referenced by:  1onn  8657