Theorem 1ellim 8430

Description: A limit ordinal contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 1ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6377	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6329	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 328	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2964	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8421	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6329	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 328	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2964	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		limord 6378	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10		ord1eln01 8428	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))
12	4, 8, 11	mpbir2and 719	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 1o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  Ord word 6316  Lim wlim 6318  1_oc1o 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-1o 8402

This theorem is referenced by:  1onn  8573  r12  35283