MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ellim 8486
Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
2ellim (Lim 𝐴 → 2o𝐴)

Proof of Theorem 2ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6415 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6368 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2971 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 nlim1 8476 . . . 4 ¬ Lim 1o
6 limeq 6368 . . . 4 (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
75, 6mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
87necon2ai 2971 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 1o)
9 nlim2 8477 . . . 4 ¬ Lim 2o
10 limeq 6368 . . . 4 (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
119, 10mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
1211necon2ai 2971 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 2o)
13 limord 6416 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14 ord2eln012 8484 . . 3 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
1513, 14syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
164, 8, 12, 15mpbir3and 1343 1 (Lim 𝐴 → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  c0 4320  Ord word 6355  Lim wlim 6357  1oc1o 8446  2oc2o 8447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-1o 8453  df-2o 8454
This theorem is referenced by:  2onn  8629
  Copyright terms: Public domain W3C validator