MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ellim 8537
Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
2ellim (Lim 𝐴 → 2o𝐴)

Proof of Theorem 2ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6443 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6396 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2970 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 nlim1 8527 . . . 4 ¬ Lim 1o
6 limeq 6396 . . . 4 (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
75, 6mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
87necon2ai 2970 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 1o)
9 nlim2 8528 . . . 4 ¬ Lim 2o
10 limeq 6396 . . . 4 (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
119, 10mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
1211necon2ai 2970 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 2o)
13 limord 6444 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14 ord2eln012 8535 . . 3 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
1513, 14syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
164, 8, 12, 15mpbir3and 1343 1 (Lim 𝐴 → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  c0 4333  Ord word 6383  Lim wlim 6385  1oc1o 8499  2oc2o 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-1o 8506  df-2o 8507
This theorem is referenced by:  2onn  8680
  Copyright terms: Public domain W3C validator