Theorem 2ellim 8434

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6383	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6335	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2961	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8424	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6335	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2961	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8425	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6335	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2961	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6384	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8432	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1344	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  Ord word 6322  Lim wlim 6324  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-1o 8405  df-2o 8406

This theorem is referenced by:  2onn  8578