Theorem 2ellim 8498

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6423	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8488	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8489	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 326	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6424	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8496	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1342	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  Ord word 6363  Lim wlim 6365  1_oc1o 8458  2_oc2o 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-1o 8465  df-2o 8466

This theorem is referenced by:  2onn  8640