Theorem 2ellim 8466

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6395	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6347	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2955	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8456	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6347	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2955	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8457	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6347	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2955	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6396	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8464	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1343	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  Ord word 6334  Lim wlim 6336  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-1o 8437  df-2o 8438

This theorem is referenced by:  2onn  8609