Theorem 2ellim 8514

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6426	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2984	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8504	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2984	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8505	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2984	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6427	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8512	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1361	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  Ord word 6364  Lim wlim 6366  1_oc1o 8476  2_oc2o 8477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-1o 8483  df-2o 8484

This theorem is used by:  2onn  8658