MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ellim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ellim 8495
Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
2ellim (Lim 𝐴 → 2o𝐴)

Proof of Theorem 2ellim
StepHypRef Expression
1 nlim0 6414 . . . 4 ¬ Lim ∅
2 limeq 6367 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
31, 2mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
43necon2ai 2962 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 nlim1 8485 . . . 4 ¬ Lim 1o
6 limeq 6367 . . . 4 (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
75, 6mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
87necon2ai 2962 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 1o)
9 nlim2 8486 . . . 4 ¬ Lim 2o
10 limeq 6367 . . . 4 (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
119, 10mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
1211necon2ai 2962 . 2 (Lim 𝐴𝐴 ≠ 2o)
13 limord 6415 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14 ord2eln012 8493 . . 3 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
1513, 14syl 17 . 2 (Lim 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
164, 8, 12, 15mpbir3and 1339 1 (Lim 𝐴 → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  c0 4315  Ord word 6354  Lim wlim 6356  1oc1o 8455  2oc2o 8456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-1o 8462  df-2o 8463
This theorem is referenced by:  2onn  8638
  Copyright terms: Public domain W3C validator