Theorem 2ellim 8463

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6402	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6354	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2985	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8453	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6354	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2985	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8454	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6354	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2985	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6403	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8461	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1355	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285  Ord word 6341  Lim wlim 6343  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-1o 8432  df-2o 8433

This theorem is referenced by:  2onn  8607