Theorem 2ellim 8537

Description: A limit ordinal contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2ellim	⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2ellim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlim0 6443	. . . 4 ⊢ ¬ Lim ∅
2		limeq 6396	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Lim 𝐴 ↔ Lim ∅))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ Lim 𝐴)
4	3	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
5		nlim1 8527	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 1o
6		limeq 6396	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 1o))
7	5, 6	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ Lim 𝐴)
8	7	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
9		nlim2 8528	. . . 4 ⊢ ¬ Lim 2o
10		limeq 6396	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → (Lim 𝐴 ↔ Lim 2o))
11	9, 10	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ Lim 𝐴)
12	11	necon2ai 2970	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13		limord 6444	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
14		ord2eln012 8535	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))
16	4, 8, 12, 15	mpbir3and 1343	1 ⊢ (Lim 𝐴 → 2o ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333  Ord word 6383  Lim wlim 6385  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-1o 8506  df-2o 8507

This theorem is referenced by:  2onn  8680