Theorem ord1eln01 8542

Description: An ordinal that is not 0 or 1 contains 1. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord1eln01	⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))

Proof of Theorem ord1eln01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4290	. . 3 ⊢ (1o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		1on 8527	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
3	2	onirri 6503	. . . . 5 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
4		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (1o ∈ 𝐴 ↔ 1o ∈ 1o))
5	3, 4	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 1o ∈ 𝐴)
6	5	necon2ai 2988	. . 3 ⊢ (1o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
7	1, 6	jca 521	. 2 ⊢ (1o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o))
8		el1o 8541	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 1o ↔ 𝐴 = ∅)
9	8	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 1o → 𝐴 = ∅)
10	9	necon3ai 2984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ∈ 1o)
11		nesym 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 1o ↔ ¬ 1o = 𝐴)
12	11	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 1o → ¬ 1o = 𝐴)
13	10, 12	anim12ci 626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o) → (¬ 1o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 1o))
14		pm4.56 1004	. . . 4 ⊢ ((¬ 1o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 1o) ↔ ¬ (1o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 1o))
15	13, 14	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o) → ¬ (1o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 1o))
16	2	onordi 6502	. . . 4 ⊢ Ord 1o
17		ordtri2 6424	. . . 4 ⊢ ((Ord 1o ∧ Ord 𝐴) → (1o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (1o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 1o)))
18	16, 17	mpan 703	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (1o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 1o)))
19	15, 18	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o) → 1o ∈ 𝐴))
20	7, 19	impbid2 229	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  Ord word 6387  1_oc1o 8507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-1o 8514

This theorem is used by:  1ellim  8544