Theorem ord2eln012 8464

Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord2eln012	⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4307	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		2on0 8451	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
3		el1o 8462	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	nemtbir 3022	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 1o
5		eleq2 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
7	6	necon2ai 2955	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
8		2on 8450	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9	8	onirri 6450	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
10		eleq2 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 2o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
12	11	necon2ai 2955	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13	1, 7, 12	3jca 1128	. 2 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o))
14		nesym 2982	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
15	14	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
19	17, 18	nelprd 4624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20		df2o3 8445	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	20	eleq2i 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 2o ↔ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
22	19, 21	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
23	16, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24		pm4.56 990	. . . 4 ⊢ ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
25	23, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
26	8	onordi 6448	. . . 4 ⊢ Ord 2o
27		ordtri2 6370	. . . 4 ⊢ ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
28	26, 27	mpan 690	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
29	25, 28	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 2o ∈ 𝐴))
30	13, 29	impbid2 226	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  {cpr 4594  Ord word 6334  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-1o 8437  df-2o 8438

This theorem is referenced by:  2ellim  8466