Theorem ord2eln012 8499

Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord2eln012	⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4334	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		2on0 8484	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
3		el1o 8497	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	nemtbir 3038	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 1o
5		eleq2 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
6	4, 5	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
7	6	necon2ai 2970	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
8		2on 8482	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9	8	onirri 6477	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
10		eleq2 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 2o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
11	9, 10	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
12	11	necon2ai 2970	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13	1, 7, 12	3jca 1128	. 2 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o))
14		nesym 2997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
15	14	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
19	17, 18	nelprd 4659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20		df2o3 8476	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	20	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 2o ↔ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
22	19, 21	sylnibr 328	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
23	16, 22	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24		pm4.56 987	. . . 4 ⊢ ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
25	23, 24	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
26	8	onordi 6475	. . . 4 ⊢ Ord 2o
27		ordtri2 6399	. . . 4 ⊢ ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
28	26, 27	mpan 688	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
29	25, 28	imbitrrid 245	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 2o ∈ 𝐴))
30	13, 29	impbid2 225	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  {cpr 4630  Ord word 6363  1_oc1o 8461  2_oc2o 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8468  df-2o 8469

This theorem is referenced by:  2ellim  8501