MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord2eln012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord2eln012 8496
Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
ord2eln012 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012
StepHypRef Expression
1 ne0i 4334 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 2on0 8481 . . . . . 6 2o ≠ ∅
3 el1o 8494 . . . . . 6 (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
42, 3nemtbir 3038 . . . . 5 ¬ 2o ∈ 1o
5 eleq2 2822 . . . . 5 (𝐴 = 1o → (2o𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
64, 5mtbiri 326 . . . 4 (𝐴 = 1o → ¬ 2o𝐴)
76necon2ai 2970 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ 1o)
8 2on 8479 . . . . . 6 2o ∈ On
98onirri 6477 . . . . 5 ¬ 2o ∈ 2o
10 eleq2 2822 . . . . 5 (𝐴 = 2o → (2o𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
119, 10mtbiri 326 . . . 4 (𝐴 = 2o → ¬ 2o𝐴)
1211necon2ai 2970 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ 2o)
131, 7, 123jca 1128 . 2 (2o𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o))
14 nesym 2997 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
1514biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16153ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
1917, 18nelprd 4659 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20 df2o3 8473 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
2120eleq2i 2825 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 2o𝐴 ∈ {∅, 1o})
2219, 21sylnibr 328 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
2316, 22jca 512 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24 pm4.56 987 . . . 4 ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o))
2523, 24sylib 217 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o))
268onordi 6475 . . . 4 Ord 2o
27 ordtri2 6399 . . . 4 ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o)))
2826, 27mpan 688 . . 3 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o)))
2925, 28imbitrrid 245 . 2 (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 2o𝐴))
3013, 29impbid2 225 1 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  c0 4322  {cpr 4630  Ord word 6363  1oc1o 8458  2oc2o 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8465  df-2o 8466
This theorem is referenced by:  2ellim  8498
  Copyright terms: Public domain W3C validator