Theorem ord2eln012 8534

Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord2eln012	⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4347	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		2on0 8521	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
3		el1o 8532	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	nemtbir 3036	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 1o
5		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
7	6	necon2ai 2968	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
8		2on 8519	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9	8	onirri 6499	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
10		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 2o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
12	11	necon2ai 2968	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13	1, 7, 12	3jca 1127	. 2 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o))
14		nesym 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
15	14	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16	15	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
19	17, 18	nelprd 4662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20		df2o3 8513	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	20	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 2o ↔ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
22	19, 21	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
23	16, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24		pm4.56 990	. . . 4 ⊢ ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
25	23, 24	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
26	8	onordi 6497	. . . 4 ⊢ Ord 2o
27		ordtri2 6421	. . . 4 ⊢ ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
28	26, 27	mpan 690	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
29	25, 28	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 2o ∈ 𝐴))
30	13, 29	impbid2 226	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  {cpr 4633  Ord word 6385  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-1o 8505  df-2o 8506

This theorem is referenced by:  2ellim  8536