MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord2eln012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord2eln012 8536
Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
ord2eln012 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012
StepHypRef Expression
1 ne0i 4340 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 2on0 8523 . . . . . 6 2o ≠ ∅
3 el1o 8534 . . . . . 6 (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
42, 3nemtbir 3037 . . . . 5 ¬ 2o ∈ 1o
5 eleq2 2829 . . . . 5 (𝐴 = 1o → (2o𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
64, 5mtbiri 327 . . . 4 (𝐴 = 1o → ¬ 2o𝐴)
76necon2ai 2969 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ 1o)
8 2on 8521 . . . . . 6 2o ∈ On
98onirri 6496 . . . . 5 ¬ 2o ∈ 2o
10 eleq2 2829 . . . . 5 (𝐴 = 2o → (2o𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
119, 10mtbiri 327 . . . 4 (𝐴 = 2o → ¬ 2o𝐴)
1211necon2ai 2969 . . 3 (2o𝐴𝐴 ≠ 2o)
131, 7, 123jca 1128 . 2 (2o𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o))
14 nesym 2996 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
1514biimpi 216 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16153ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
1917, 18nelprd 4656 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20 df2o3 8515 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
2120eleq2i 2832 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 2o𝐴 ∈ {∅, 1o})
2219, 21sylnibr 329 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
2316, 22jca 511 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24 pm4.56 990 . . . 4 ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o))
2523, 24sylib 218 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o))
268onordi 6494 . . . 4 Ord 2o
27 ordtri2 6418 . . . 4 ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o)))
2826, 27mpan 690 . . 3 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴𝐴 ∈ 2o)))
2925, 28imbitrrid 246 . 2 (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o) → 2o𝐴))
3013, 29impbid2 226 1 (Ord 𝐴 → (2o𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o𝐴 ≠ 2o)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  c0 4332  {cpr 4627  Ord word 6382  1oc1o 8500  2oc2o 8501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-1o 8507  df-2o 8508
This theorem is referenced by:  2ellim  8538
  Copyright terms: Public domain W3C validator