Theorem ord2eln012 8505

Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord2eln012	⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4286	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		2on0 8491	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
3		el1o 8503	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	nemtbir 3051	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 1o
5		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
6	4, 5	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
7	6	necon2ai 2984	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
8		2on 8490	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9	8	onirri 6477	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
10		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 2o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
12	11	necon2ai 2984	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13	1, 7, 12	3jca 1146	. 2 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o))
14		nesym 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
15	14	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
19	17, 18	nelprd 4617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20		df2o3 8484	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	20	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 2o ↔ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
22	19, 21	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
23	16, 22	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24		pm4.56 1004	. . . 4 ⊢ ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
25	23, 24	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
26	8	onordi 6476	. . . 4 ⊢ Ord 2o
27		ordtri2 6398	. . . 4 ⊢ ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
28	26, 27	mpan 703	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
29	25, 28	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 2o ∈ 𝐴))
30	13, 29	impbid2 229	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {cpr 4585  Ord word 6361  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-1o 8476  df-2o 8477

This theorem is used by:  2ellim  8507