Theorem ord2eln012 8482

Description: An ordinal that is not 0, 1, or 2 contains 2. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ord2eln012	⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Proof of Theorem ord2eln012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4300	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		2on0 8468	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
3		el1o 8480	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ 1o ↔ 2o = ∅)
4	2, 3	nemtbir 3060	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 1o
5		eleq2 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 1o))
6	4, 5	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
7	6	necon2ai 2993	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 1o)
8		2on 8467	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9	8	onirri 6476	. . . . 5 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
10		eleq2 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 2o → (2o ∈ 𝐴 ↔ 2o ∈ 2o))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 2o → ¬ 2o ∈ 𝐴)
12	11	necon2ai 2993	. . 3 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ 2o)
13	1, 7, 12	3jca 1144	. 2 ⊢ (2o ∈ 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o))
14		nesym 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 2o ↔ ¬ 2o = 𝐴)
15	14	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 2o → ¬ 2o = 𝐴)
16	15	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 2o = 𝐴)
17		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ ∅)
18		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 𝐴 ≠ 1o)
19	17, 18	nelprd 4626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
20		df2o3 8461	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
21	20	eleq2i 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 2o ↔ 𝐴 ∈ {∅, 1o})
22	19, 21	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ 𝐴 ∈ 2o)
23	16, 22	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → (¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o))
24		pm4.56 1004	. . . 4 ⊢ ((¬ 2o = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 2o) ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
25	23, 24	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o))
26	8	onordi 6475	. . . 4 ⊢ Ord 2o
27		ordtri2 6397	. . . 4 ⊢ ((Ord 2o ∧ Ord 𝐴) → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
28	26, 27	mpan 702	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ ¬ (2o = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ 2o)))
29	25, 28	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o) → 2o ∈ 𝐴))
30	13, 29	impbid2 229	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (2o ∈ 𝐴 ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ 1o ∧ 𝐴 ≠ 2o)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4292  {cpr 4594  Ord word 6360  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-1o 8453  df-2o 8454

This theorem is referenced by:  2ellim  8484